Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Полярная система координат

Положение точки на плоскости можно определить с помощью так называемой полярной системы координат.

На плоскости выбираем некоторую точку О, называемую полюсом, и выходящую из этой точки полупрямую, называемую полярной осью. Положение точки М на плоскости можно определить двумя числами: числом , выражающим расстояние точки М от полюса, и числом — величиной угла, образованного отрезком ОМ с полярной осью. Положительным направлением отсчета угла ( считается направление против часовой стрелки. Числа называются полярными координатами точки М (рис. 23).

Рис. 23.

Рис. 24.

Радиус-вектор будем всегда считать неотрицательным. Если полярный угол брать в пределах то каждой точке плоскости, кроме полюса, соответствует вполне определенная пара чисел Для полюса произвольное.

Установим связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами. Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси с полярной осью. Из рис. 24 непосредственно следует:

и, обратно,

Примечание. При нахождении нужно учитывать, в какой четверти находится точка, и брать соответствующее значение

Уравнение в полярной системе координат определяет некоторую линию.

Пример 1. Уравнение где определяет в полярных координатах окружность с центром в полюсе и радиусом а. Уравнение этой окружности (рис. 25) в прямоугольной системе координат, расположенной так, как указано на рис. 24, будет или .

Пример 2. , где . Составим таблицу значений при некоторых значениях :

Соответствующая кривая изображена на рис. 26. Эта кривая называется спиралыо Архимеда.

Пример Это уравнение окружности радиуса а, центр которой находится в точке

Рис. 25.

Рис. 26.

Рис. 27.

Напишем уравнение этой окружности в прямоугольных координатах. Подставляя в данное уравнение будем иметь или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление