Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Интегрирование по частям

Пусть и и V — дифференцируемые функции от х. Тогда

Интегрируя обе части тождества в пределах от а до b, получим

Так как поэтому равенство (1) может быть записано в виде

или окончательно

Пример. Вычислить интеграл

В выбранных обозначениях последнее равенство можно записать так:

откуда находим

Тем же приемом найдем

поэтому

Продолжая таким же образом далее, мы дойдем или до или до в зависимости от того, будет ли число четным или нечетным.

Рассмотрим два случая:

1) — число четное,

2) — число нечетное,

но так как

то

Из этих формул следует формула Валлиса, выражающая число в виде бесконечного произведения.

Действительно из последних двух равенств путем почленного деления находим

Докажем теперь, что

Для всех из интервала справедливы неравенства

Интегрируя в пределах от 0 до получим

откуда

Из равенства (2) следует

Поэтому

Из неравенства (4) получаем

Переходя к пределу в формуле (3), получим формулу Валлиса

Эту формулу можно записать в следующем виде:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление