Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция

Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. Пусть дан интеграл

в котором подынтегральная функция зависит от некоторого параметра а. Если параметр а будет меняться, то будет меняться и значение определенного интеграла. Таким образом, определенный интеграл есть функция от а; поэтому мы его можем обозначить через

Предположим, что — непрерывные функции при

Найдем производную интеграла по параметру а:

Для нахождения этой производной заметим, что

Применяя теорему Лагранжа к подынтегральной функции, будем иметь где Так как а) непрерывна в замкнутой области (2), то где величина , зависящая от , стремится к нулю при Таким образом,

Переходя к пределу при получаем

ИЛИ

Последняя формула называется формулой Лейбница.

2. Предположим теперь, что в интеграле (1) пределы интегрирования и являются функциями от а:

есть сложная функция от а, причем а и b являются промежуточными аргументами. Для того чтобы найти производную от применим правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных (см. § 10 гл. VIII)

На основании теоремы о дифференцировании определенного интеграла по переменному верхнему пределу (см. § 4) получаем

Наконец, для вычисления применяем формулу Лейбница:

Подставляя в формулу (3) полученные выражения производных, будем иметь:

С помощью формулы Лейбница можно вычислить некоторые определенные интегралы.

Пример 1. Вычислить интеграл .

Решение. Заметим прежде всего, что непосредственно вычислить этот интеграл мы не можем, так как первообразная от функции не выражается через элементарные функции. Для вычисления данного интеграла будем рассматривать его как функцию от параметра а. Тогда его производная по найдется по выведенной выше формуле Лейбница:

Но последний интеграл легко вычисляется с помощью элементарных функций; он равен Поэтому Интегрируя полученное тождество, найдем (5) Остается определить С. Для этого замечаем, что

Кроме того, . Подставляя в равенство найдем откуда . Следовательно, для любого значения а имеет место равенство , т. е.

Пример 2. Гамма-функция.

Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра а,

Покажем, что этот несобственный интеграл существует (сходится) при Представим его в виде суммы

Первый интеграл правой части сходится, так как

Второй интеграл также сходится. Действительно, пусть -целое число такое, что . Тогда, очевидно,

Последний интеграл вычисляем путем интегрирования по частям с учетом того, что

при любом целом положительном k. Итак, интеграл (6) определяет некоторую функцию а. Ее обозначают и называют гамма-функцией.

Эта функция часто используется в приложениях математики. Найдем значения при целых а. При имеем

Пусть целое Интегрируем по частям:

или, учитывая (7),

На основании (10) и (9) находим при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление