Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Дифференцируемость функций

Определение. Если функция

имеет производную в точке , т. е. если существует

то мы говорим, что при данном значении функция дифференцируема или (что равносильно этому) имеет производную.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого отрезка или интервала , то говорят, что она дифференцируема на отрезке или соответственно в интервале

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке то она в этой точке непрерывна. Действительно, если

то

где есть величина, стремящаяся к нулю при . Но тогда

отсюда следует, что при , а это и значит, что функция непрерывна в точке (см. § 9 гл. II).

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т. е. из того, что в какой-нибудь точке функция непрерывна, еще не следует, что в этой точке она дифференцируема: функция может и не иметь производной в точке

Для того чтобы убедиться в этом, рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. Функция определена на отрезке [0, 2] следующим образом (рис. 61):

Эта функция при не имеет производной, хотя и непрерывна в этой точке. Действительно, при имеем

при получаем

Таким образом, рассматриваемый предел зависит от того, каков знак а это значит, что в точке функция не имеет производной.

Рис. 61.

Рис. 62.

Геометрически этому соответствует тот факт, что в точке данная «кривая» не имеет определенной касательной.

Непрерывность же функции в точке следует из того, что

и, следовательно, в обоих случаях при

Пример 2. Функция график которой изображен на рис. 62, определена и непрерывна для всех значений независимой переменной. Выясним, имеет ли эта функция производную при для этого найдем значения функции при и при имеем при имеем Следовательно,

Найдем предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

Таким образом, отношение приращения функции к приращению аргумента в точке х = 0 стремится к бесконечности при значит, предела не имеет). Следовательно, рассматриваемая функция не дифференцируема в точке Касательная к кривой в этой точке образует с осью абсцисс угол , т. е. совпадает с осью Оу.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление