Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Производная от функции y = x^n при n целом и положительном

Для нахождения производной от данной функции y = f(x), исходя из общего определения производной, необходимо произвести следующие действия:

1) дать аргументу приращение вычислить наращенное значение функции:

2) найти соответствующее приращение функции:

3) составить отношение приращения функции к приращению аргумента:

4) найти предел данного отношения при

Мы применим здесь и в следующих параграфах этот общий способ для вычисления производных от некоторых элементарных функций.

Теорема. Производная функций , где — целое положительное число, равна , т. е.

Доказательство. Имеем функцию

1) Если получает приращение , то

2) Пользуясь формулой бинома Ньютона, находим

или

3) Находим отношение

4) Найдем предел этого отношения

следовательно, , что и требовалось доказать.

Пример 1.

Пример Последний результат имеет простое геометрическое истолкование: касательная к прямой при любом значении совпадает с этой прямой и, следовательно, образует с положительным направлением оси угол, тангейс которого равен 1.

Отметим, что формула (I) верна и в случае дробного и отрицательного. (Это будет доказано в § 12.)

Пример 3.

Представим данную функцию в виде степени:

тогда по формуле (I) (учитывая только что сделанное замечание) получаем

или

Пример

Представим у в виде степенной функции:

Тогда

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление