Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 27. Геометрическое значение производной радиус-вектора по полярному углу

Пусть имеем уравнение кривой в полярных координатах:

Напишем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым:

Подставляя сюда вместо его выражение через 0 из уравнения (1), будем иметь:

Уравнения (2) являются параметрическими уравнениями данной кривой, причем параметром является полярный угол (рис. 91).

Рис. 91.

Если через обозначим угол, составленный касательной к кривой в некоторой точке с положительным направлением оси абсцисс, то будем иметь

Обозначим через угол между направлением радиус-вектора и касательной. Очевидно, что

Подставляя сюда вместо его выражение (3) и производя преобразование, получим

или

Таким образом, производная радиус-вектора по полярному углу равна длине радиус-вектора, умноженной на котангенс угла между радиус-вектором и касательной к кривой в данной точке.

Пример. Показать, что касательная к логарифмической спирали пересекается с радиус-вектором под постоянным углом.

Решение. Из уравнения спирали находим На основании формулы (4) получаем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление