Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА IV. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ

§ 1. Теорема о корнях производной (теорема Ролля)

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль то внутри отрезка существует по крайней мере одна точка в которой производная обращается в нуль, т. е.

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке то она имеет на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение .

Если то функция постоянна, т. е. при всех значениях имеет постоянное значение . Но тогда в любой точке отрезка будет и теорема доказана.

Предположим, что Тогда по крайней мере одно из этих чисел не равно нулю.

Предположим для определенности, что и что функция принимает свое наибольшее значение при При этом заметим, что с не равно ни а, ни b, так как по условию . Так как наибольшее значение функции, то как при так и при

Отсюда следует, что

Так как по условию теоремы производная при существует, то, переходя к пределу при получим

Но соотношения совместимы лишь в том случае, если . Следовательно, внутри отрезка имеется точка с, в которой производная равна нулю.

Рис. 92.

Теорема о корнях производной имеет простое геометрическое истолкование: если непрерывная кривая, имеющая в каждой точке касательную, пересекает ось в точках с абсциссами а и b, то на этой кривой найдется по крайней мере одна точка с абсциссой с, в которой касательная параллельна оси Ох.

Замечание 1. Доказанная теорема остается справедливой и для такой дифференцируемой функции, которая на концах отрезка не обращается в нуль, но принимает равные значения f (a) = f (b) (рис. 92). Доказательство в этом случае проводится точно так же, как и ранее.

Замечание 2. Если функция такова, что производная существует не во всех точках внутри отрезка то утверждение теоремы может оказаться неверным (т. е. в рис. 93. этом случае на отрезке может не оказаться такой точки с, в которой производная обращается в нуль).

Рис. 93.

Рис. 94.

Так, например, функция (рис. 93) непрерывна на отрезке [-1, 1] и обращается в нуль на концах отрезка, однако производная внутри промежутка в нуль

не обращается. Это происходит оттого, что внутри промежутка существует точка в которой производная не существует (обращается в бесконечность).

График, изображенный на рис. 94, дает нам еще один пример функции, производная которой не обращается в нуль на отрезке

Для этой функции также не выполнены условия теоремы Ролля, так как в точке функция не имеет производной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление