Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной

Пусть при производная функции y = f(x) обращается в нуль, т. е. Пусть, кроме того, вторая производная существует и непрерывна в некоторой окрестности точки Тогда справедлива следующая теорема.

Теорема. Пусть тогда при функция имеет максимум, если и минимум, если

Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть

Так как, по условию, непрерывна в некоторой окрестности точки то, очевидно, найдется некоторый малый отрезок, окружающий точку во всех точках которого вторая производная будет отрицательна.

Так как есть первая производная от первой производной, , то из условия следует, что убывает на отрезке, содержащем точку Но следовательно, на этом отрезке при имеем , а при имеем , т. е. производная при переходе через точку меняет знак с плюса на минус, а это значит, что в точке функция имеет максимум. Первая часть теоремы доказана.

Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы, а именно: если , то во всех точках некоторого отрезка, окружающего точку но тогда на этом отрезке и, следовательно, возрастает. Так как , то, значит, при переходе через точку производная меняет знак с минуса на плюс, т. е. функция имеет минимум при

Если в критической точке , то в этой точке может быть или максимум, или минимум или не быть ни максимума, ни минимума. В этом случае исследование нужно вести первым способом (см. § 4).

Схему исследования экстремумов с помощью второй производной можно изобразить в следующей таблице:

Пример 1, Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. Так как функция является периодической с периодом , то достаточно исследовать функцию на отрезке

1) Находим производную:

2) Находим критические значения аргумента:

3) Находим вторую производную:

4) Исследуем характер каждой критической точки:

Следовательно, в точке имеем максимум:

Далее,

Следовательно, в точке имеем минимум:

В точке имеем

Следовательно, при функция имеет максимум:

Наконец,

Следовательно, в точке имеем минимум:

График исследуемой функции изображен на рис. 109.

Покажем, далее, на примерах, что если в некоторой точке имеем f и , то в этой точке функция f (х) может иметь либо максимум, либо минимум, либо не иметь ни максимума, ни минимума.

Пример 2. Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. 1) Находим критические точки:

2) Определяем знак второй производной при

Следовательно, выяснить характер критической точки с помощью знака второй производной в данном случае нельзя.

Рис. 109.

3) Исследуем характер критической точки первым способом (см. § 4):

Следовательно, при функция имеет максимум, а именно;

График рассмотренной функции изображен на рис. 110,

Рис. 110.

Рис. 111.

Рис. 112.

Пример 3. Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение. По второму способу находим

Следовательно, второй способ ответа не дает. Прибегая к первому способу, получаем

Следовательно, при функция имеет минимум (рис. 111.).

Пример 4, Исследовать на максимум и минимум функцию

Решение, Второй способ:

таким образом, второй способ ответа не дает. По первому способу находим

Следовательно, при функция не имеет ни максимума, ни минимума (рис. 112).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление