Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ

§ 1. Длина дуги и ее производная

Пусть дуга кривой (рис. 137) есть график функции y = f(x), определенной на интервале Определим длину дуги кривой. Возьмем на кривой АВ точки . Соединив взятые точки отрезками, получим ломаную линию , вписанную в дугу Обозначим длину этой ломаной через

Рис. 137.

Длиной дуги называется предел (обозначим его через s), к которому стремится длина ломаной при стремлении к нулю наибольшей из длин отрезков ломаной если этот предел существует и не зависит от выбора точек ломаной .

Отметим, что это определение длины дуги произвольной кривой аналогично определению длины окружности.

В главе XII будет доказано, что если на отрезке функция и ее производная непрерывны, то дуга кривой заключенная между точками имеет вполне определенную длину, причем будет указан способ вычисления этой длины. Там же будет установлено (как следствие), что в указанных условиях отношение длины любой дуги этой кривой к длине стягивающей ее хорды стремится к 1, когда длина хорды стремится к 0:

Эта теорема легко может быть доказана для окружности однако в общем случае мы пока примем ее без доказательства.

Рассмотрим следующий вопрос. Пусть мы имеем на плоскости кривую, заданную уравнением y = f(x). Пусть некоторая фиксированная точка кривой, а - переменная точка этой кривой. Обозначим через s длину дуги (рис. 139).

При изменении абсциссы точки М длина s дуги будет меняться, т. е. s есть функция х. Найдем производную s по х.

Рис. 138.

Рис. 139.

Дадим приращение А. Тогда дуга s получит приращение . Пусть — хорда, стягивающая эту дугу. Для того чтобы найти поступим следующим образом: из находим Умножим и разделим левую часть на

Разделим все члены равенства на

Найдем предел левой и правой частей при Учитывая, что и что , получим

Для дифференциала дуги получим следующее выражение:

или

Мы получили выражение дифференциала длины дуги для того случая, когда кривая задана уравнением y = f(x). Однако формула (2) сохраняется и в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями. Если кривая задана параметрически:

то

и выражение (2) принимает вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление