Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Кривизна

Одним из элементов, характеризующих форму кривой, является степень ее искривленности.

Пусть мы имеем кривую, которая не пересекает самое себя и имеет определенную касательную в каждой точке. Проведем касательные к кривой в каких-нибудь двух ее точках Л и В и обозначим через а угол, образованный этими касательными, или — точнее — угол поворота касательной при переходе от точки А к точке В (рис. 140). Этот угол называется углом смежности дуги АВ. У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та дуга, у которой угол смежности больше (рис. 140 и 141).

Рис. 140.

Рис. 141.

С другой стороны, рассматривая дуги различной длины, мы не можем оценить степень их искривленности только соответствующим углом смежности. Отсюда следует, что полной характеристикой изогнутости кривой будет отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.

Определение 1. Средней кривизной дуги АВ называется отношение соответствующего угла смежности а к длине дуги:

Для одной и той же кривой средняя кривизна ее различных частей (дуг) может быть различной; так, например, для кривой, показанной на рис. 142, средняя кривизна дуги АВ не равна средней кривизне дуги хотя длины этих дуг равны между собой. Более того, вблизи различных точек кривая искривлена по-разному. Для того чтобы охарактеризовать степень искривленности данной линии в непосредственной близости к данной точке А, введем понятие кривизны кривой в данной точке.

Рис. 142.

Рис. 143.

Определение 2. Кривизной К а линии в данной точке А называется предел средней кривизны дуги АВ, когда длина этой дуги стремится к нулю (т. е. когда точка В приближается к точке А)

Пример. Для окружности радиуса : 1) определить среднюю кривизну дуги А В, соответствующей центральному углу (рис. 143); 2) определить кривизну в точке А.

Решение. 1) Очевидно, что угол смежности дуги АВ равен а, длина дуги равна . Следовательно, или

2) Кривизна в точке А равна

Таким образом, средняя кривизна дуги окружности радиуса не зависит от длины и положения дуги, для всех дуг она равна Кривизна окружности в любой ее точке также не зависит от выбора этой точки и равна

Замечание. Отметим, что для произвольной кривой кривизна в различных ее точках, вообще говоря, будет различная. Это мы увидим ниже.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление