Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Вычисление кривизны

Выведем формулу для вычисления кривизны данной линии в любой ее точке При этом мы будем предполагать, что кривая задана в декартовой системе координат уравнением

вида

и что функция имеет непрерывную вторую производную.

Проведем касательные к кривой в точках М и с абсциссами и обозначим через углы наклона этих касательных (рис. 144).

Длину дуги отсчитываемую от некоторой постоянной точки обозначим через s; тогда

Как непосредственно видно из рис. 144, угол смежности, соответствующий дуге равен абсолютной величине разности углов т. е. равен

Рис. 144.

Согласно определению средней кривизны кривой на участке имеем

Чтобы получить кривизну в точке нужно найти предел полученного выражения при условии, что длина дуги стремится к нулю:

Так как величины и s обе зависят от х (являются функциями от х), то, следовательно, можно рассматривать как функцию от s. Мы можем считать, что эта функция задана параметрически с помощью параметра х. Тогда

и, следовательно,

Для вычисления используем формулу дифференцирования функции, заданной параметрически:

Чтобы выразить производную через функцию у = f (х), замечаем, что и, следовательно,

Дифференцируя по последнее равенство, будем иметь

Что же касается производной то еще в § 1 мы нашли

Поэтому

или, так как окончательно получаем

Следовательно, в любой точке кривой, где существует и непрерывна вторая производная можно вычислить кривизну.

Для ее вычисления служит формула (3). Заметим, что при вычислении кривизны кривой следует брать только арифметическое (т. е. положительное) значение корня в знаменателе, так как кривизна линии по определению не может быть отрицательной.

Пример 1. Определить кривизну параболы

а) в ее произвольной точке

б) в точке

в) в точке .

Решение. Находим первую и вторую производные функции

Подставляя полученные выражения в формулу (3), получим

Пример 2. Определить кривизну прямой в ее произвольной точке

Решение. Обращаясь к формуле (3), получаем Таким образом, прямая представляет собой «линию нулевой кривизны». Этот же результат легко можно получить непосредственно из определения кривизны.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление