Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.1
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней

В формуле (1) § 7 корни могут быть как действительными, так и комплексными. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный корень , то он имеет и сопряженный корень

Доказательство. Если мы подставим в многочлен вместо число произведем возведение в степень и соберем

отдельно члены, содержащие i и не содержащие i, то получим

где М и N — выражения, не содержащие i.

Так как a + ib - корень многочлена, то

откуда

Подставим теперь в многочлен вместо выражение . Тогда (на основании замечания 3 в конце § 2) мы получим в результате число, сопряженное с числом т. е.

Так как и , то есть корень многочлена.

Итак, в разложении

комплексные корни входят попарно сопряженными.

Перемножив линейные множители, соответствующие паре комплексно сопряженных корней, получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами:

где — действительнее числа.

Если число является корнем кратности k, то сопряженное число должно являться корнем той же кратности так что наряду с линейными множителями в разложение многочлена входят столько же линейных множителей вида

Таким образом, многочлен с действительными коэффициентами разлагается на множители с действительными коэффициентами первой и второй степени соответствующей кратности, т. е.

При этом

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление