Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Уравнение Бернулли

Рассмотрим уравнение вида

где - непрерывные функции от х (или постоянные), а противном случае получилось бы линейное уравнение). Это уравнение, называемое уравнением Бернулли, приводится к линейному следующим преобразованием.

Разделив все члены уравнения на получим

Сделаем, далее, замену

Тогда

Подставляя эти значения в уравнение (2), будем иметь линейное уравнение

Найдя его общий интеграл и подставив вместо выражение получим общий интеграл уравнения Бернулли.

Пример. Решить уравнение

Решение. Разделив все члены на получим

Введем новую функцию тогда . Подставляя эти значения в уравнение (4), получим линейное уравнение

Найдем его общий интеграл:

Подставляем в уравнение (5) выражения

или

Приравниваем нулю выражение, стоящее в скобках:

Для определения и получаем уравнение

Разделяем переменные:

Интегрируя по частям, найдем

Следовательно, общий интеграл данного уравнения есть

Замечание. Аналогично тому, как это делалось для линейных уравнений, можно показать, что решение уравнения Бернулли можно искать в виде произведения двух функций:

где - какая-либо функция, отличная от нуля и удовлетворяющая уравнению .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление