Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Уравнение распространения тепла в стержне. Формулировка краевой задачи

Рассмотрим однородный стержень длины l. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова.

Изучим процесс распространения тепла в стержне.

Рис. 391.

Расположим ось так, что один конец стержня будет совпадать с точкой , а другой — с точкой Пусть температура в сечении стержня с абсциссой в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е. количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой за единицу времени, определяется формулой

где - площадь сечения рассматриваемого стержня, - коэффициент теплопроводности .

Рассмотрим, элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами . Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой за время будет равно

то же самое для сечения с абсциссой

Приток тепла в элемент стержня за время будет равняться

(мы применили теорему Лагранжа к разности

Этот приток тепла за время затратился на повышение температуры элемента стержня на величину

или

где с — теплоемкость вещества стержня, — плотность вещества стержня масса элемента стержня).

Приравнивая выражения (4) и (5) одного и того же количества тепла , получим

или

Обозначая окончательно получаем

Это и есть уравнение распространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения (6) было вполне определенно, функция должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут быть различные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задаче для 0 t следующие:

Физически условие (7) (начальное условие) соответствует тому, что при в различных сечениях стержня задана температура, равная Условия (8) и (9) (граничные условия) соответствуют тому, что на концах стержня при и при поддерживается температура, равная соответственно.

В § 6 доказывается, что уравнение (6) имеет единственное решение в области удовлетворяющее условиям (7) -(9).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление