Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Изображение производных

Теорема. Если , то

Доказательство. На основании определения изображения можем написать

Будем предполагать, что все производные которые нам встретятся, удовлетворяют условию следовательно, интеграл (28) и аналогичные интегралы для последующих производных существуют. Вычисляя по частям интеграл, стоящий в правой части равенства (28), найдем

Но по условию (1)

а

Поэтому

Теорема доказана. Рассмотрим далее изображение производных любого порядка. Подставляя в формулу (27) вместо выражение , а вместо - выражение , получим

или, раскрывая скобки,

Изображение для производной порядка будет

Замечание. Формулы (27), (29), (30) упрощаются, если . В этом случае получаем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление