Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 11. Огибающая семейства кривых

Пусть дано уравнение вида

где х и у — переменные декартовы координаты, а С — параметр, могущий принимать различные фиксированные значения.

При каждом данном значении параметра С уравнение (1) определяет некоторую кривую на плоскости Оху. Придавая С всевозможные значения, мы получаем семейство кривых, зависящих от одного параметра, или — как часто говорят — однопараметрическое семейство кривых. Таким образом, уравнение (1) есть уравнение однопараметрического семейства кривых (так как оно содержит только одну произвольную постоянную).

Рис. 256.

Рис. 257.

Определение. Линия L называется огибающей однопараметрического семейства линий, если она в каждой своей точке касается той или иной линии семейства, причем в различных точках линии L ее касаются различные линии данного семейства (рис. 256).

Пример 1. Рассмотрим семейство линий , где R — постоянная, С — параметр. Это — семейство окружностей радиуса R с центрами на оси Ох. Очевидно, что это семейство будет иметь огибающими прямые

Нахождение уравнения огибающей данного семейства. Пусть дано семейство кривых

зависящих от параметра С.

Предположим, что это семейство имеет огибающую, уравнение которой можно записать в виде , где - непрерывная и дифференцируемая функция от Рассмотрим некоторую точку лежащую на огибающей. Эта точка также лежит на некоторой кривой семейства (1). Этой кривой соответствует определенное значение параметра С, которое при данных х и у определяется из уравнения . Следовательно, для всех точек огибающей удовлетворяется равенство

Допустим, что - дифференцируемая функция, не постоянная ни на каком интервале рассматриваемых значений х, у. Из уравнения (2) огибающей найдем угловой коэффициент касательной к огибающей в точке Продифференцируем

равенство (2) по считая, что у есть функция от х:

ИЛИ

Далее, угловой коэффициент касательной к кривой семейства (1) в точке найдется из равенства

(С на данной кривой постоянно).

Мы предполагаем, что Ф 0, в противном случае мы считали бы х функцией, а у аргументом. Так как угловой коэффициент k огибающей равен угловому коэффициенту k кривой семейства, то из (3) и (4) получаем

Но так как на огибающей , то

и потому для ее точек справедливо равенство

Таким образом, для определения огибающей служат следующие два уравнения:

Обратно, если, исключая С из этих уравнений, получим уравнение , где - дифференцируемая функция, при этом значение на этой кривой, то есть уравнение огибающей.

Замечание 1. Если для семейства (1) некоторая функция является уравнением геометрического места особых точек, т. е. точек, где , то координаты этих точек также удовлетворяют уравнениям (6).

Действительно, координаты особых точек можно выразить через параметр С, входящий в уравнение (1):

Если эти выражения подставим в уравнение (1), то получим тождество относительно С:

Дифференцируя это тождество по С, получим:

так как для любых точек выполняются равенства , то, следовательно, для них также выполняется равенство .

Этим мы и доказали, что координаты особых точек удовлетворяют уравнениям (6).

Итак, уравнения (6) определяют либо огибающую, либо геометрическое место особых точек кривых семейства (1), либо сочетание того и другого. Таким образом, получив кривую, удовлетворяющую уравнениям (6), необходимо дополнительно исследовать, является ли она огибающей или геометрическим местом особых точек.

Рис. 258.

Рис. 259.

Пример 2. Найти огибающую семейства окружностей

зависящих от одного параметра С.

Решение. Дифференцируя уравнение семейства по С, получаем Исключая С из этих двух уравнений, получим уравнения или

Из геометрических соображений ясно, что полученная пара прямых является огибающей (а не геометрическим местом особых точек, так как окружности, входящие в семейство, не имеют особых точек).

Пример 3. Найти огибающую семейства прямых:

где a — параметр.

Решение. Дифференцируя по а данное уравнение семейства, будем иметь:

Для исключения параметра а из уравнений (а) и умножим члены первого на , а второго — на и вычтем из первого второе; тогда будем иметь . Подставляя это выраженйе в равенство (b), найдем а. Возводя члены двух последних уравнений в квадрат и складывая почленно, получим Это — окружность. Она является огибающей семейства (а не геометрическим местом особых точек, так как прямые линии не имеют особых точек) (рис. 258).

Пример 4. Найти огибающую траекторий снарядов, выпущенных из пушки со скоростью под различными углами наклона ствола орудия к горизонту. При этом будем считать, что орудие находится в начале координат, а траектории снарядов лежат в плоскости (сопротивлением воздуха пренебрегаем).

Решение. Найдем сначала уравнение траектории снаряда в том случае, когда ствол орудия составляет с положительным направлением оси угол а. Во время полета снаряд участвует одновременно в двух движениях: равномерное движение со скоростью в направлении ствола орудия и падение вниз под действием силы тяжести. Поэтому в каждый момент времени t положение снаряда М (рис. 259) будет определяться равенствами

Это — параметрические уравнения траектории (параметром является время t). Исключив t, найдем уравнение траектории в виде

наконец, введя обозначения получим

Это уравнение определяет параболу с вертикальной осью, проходящую через начало координат и обращенную ветвями вниз. Для различных значений k мы получим различные траектории.

Рис. 260.

Следовательно, уравнение (8) является уравнением однопараметрического семейства парабол, являющихся траекториями снаряда при различных углах а и данной начальной скорости

Найдем огибающую этого семейства парабол.

Дифференцируя по k обе части уравнения (8), имеем

Исключая k из уравнений (8) и (9), получим

Это — уравнение параболы с вершиной в точке ось которой совпадает с осью Оу. Она не является геометрическим местом особых точек (так как параболы (8) не имеют особых точек). Итак, парабола

является огибающей семейства траекторий. Она называется параболой безопасности, так как ни одна точка за ее пределами не достижима для снаряда, выпущенного из данного орудия - с данной начальной скоростью

Пример 5. Найти огибающую семейства полукубических парабол

Решение. Дифференцируем по параметру С данное уравнение семейства:

Исключая параметр С из двух уравнений, получим

Ось Ох является геометрическим местом особых точек — точек возврата первого рода (рис. 261).

Рис. 261.

Действительно, найдем особые точки кривой

при фиксировании значения С. Дифференцируя по и у, находим

Решая совместно три предыдущих уравнения, найдем координаты особой точки: таким образом, каждая кривая данного семейства имеет особую точку на оси Ох.

При непрерывном изменении параметра С особые точки заполнят всю ось Ох.

Пример 6. Найти огибающую и геометрическое место особых точек семейства

Решение. Дифференцируя по С обе части равенства (10), найдем

или

Исключим теперь параметр С из полученного равенства () и из уравнения (10) семейства. Подставив выражение в уравнение семейства, получим

отсюда получаем два возможных значения С и два соответствующих им решения задачи.

Мы получили две прямые у=х и . Первая из них является геометрическим местом особых точек, а вторая — огибающей (рис. 262).

Замечание 2. В § 7 гл. VI было доказано, что нормаль к кривой служит касательной к ее эволюте. Следовательно, семейство нормалей к данной кривой является в то же время семейством касательных к ее эволюте. Таким образом, эволюта кривой является огибающей семейства нормалей этой кривой (рис. 263).

Рис. 262.

Рис. 263.

Это замечание позволяет указать еще один метод для нахождения эволюты: чтобы получить уравнение эволюты, надо сначала найти семейство всех нормалей данной кривой, а затем найти огибающую этого семейства.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление