Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Дельта-функция и ее изображение

Рассмотрим функцию

изображенную на рис.

Если эту функцию трактовать как силу, действующую за промежуток времени от 0 до h, а в остальное время равную нулю, то, очевидно, импульс этой силы будет равен единице.

Рис. 403.

На основании формул (8) и (70) изображение этой функции будет

т. е.

В механике бывает удобно рассматривать силы, действующие очень короткий промежуток времени, как силы, действующие мгновенно, но имеющие конечный импульс. Поэтому вводят функцию как предел функции при

Эту функцию называют единичной импульсной функцией, или дельта-функцией.

Естественно положить

Также пишут

Отметим, что функция применяется не только в механике, а во многих разделах математики, в частности при решении многих задач уравнений математической физики.

Рассмотрим действие если ее представлять как силу. Найдем решение уравнения

удовлетворяющее условиям

Из уравнения (76) находим, учитывая (75),

при любом t, в частности и при Следовательно, определяя равенством (73), можно трактовать эту функцию как силу, сообщающую материальной точке с массой единица в момент скорость, равную единице.

L-изображение функции определим как предел изображения функции :

(здесь воспользовались правилом Лопиталя для нахождения предела). Итак,

Далее определяется функция которую трактуют как силу, мгновенно, в момент сообщающую единичной массе скорость, равную единице. Очевидно, что на основании теоремы запаздывания будем иметь

Аналогично (75) можем написать

На основании механического толкования дельта-функции следует, что присутствие дельта-функции в правой части уравнения может быть заменено соответствующим изменением начальных условий. Покажем это на простом примере. Пусть имеем дифференциальное уравнение

с начальными условиями при Вспомогательное уравнение будет

откуда

Пользуясь формулами 9 и 15 таблицы, прлучаем

К этому же результату мы бы пришли, если бы находили решение уравнения

с начальными условиями при . В этом случае вспомогательное уравнение имело бы вид

Оно эквивалентно вспомогательному уравнению (82), а следовательно, решение будет совпадать с решением (83).

В заключение отметим следующее важное свойство дельтафункции. На основании равенств (74) и (75) можем написать

т. е. этот интеграл равняется единичной функции Хевисайда . Итак,

Дифференцируя правую и левую части равенства по t, получаем условное равенство

Рис. 404.

Для пояснения смысла условного равенства (87) рассмотрим функцию изображенную на рис. 404. Очевидно,

(кроме точек Переходя к пределу при в равенстве (88), видим, что и будем писать

Правая часть равенства (88) при Таким образом, равенство (88) переходит в условное равенство (87).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление