Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 1. Случайное событие. Относительная частота случайного события. Вероятность события. Предмет теории вероятностей

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется такое событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти.

Пример 1. Появление герба при бросании монеты есть случайное событие.

Пример 2. Попадание в данный объект или в данную площадь при стрельбе по этому объекту из данного орудия есть случайное событие.

Пример 3. При изготовлении цилиндра с заданной величиной диаметра 20 см получать ошибки меньше, чем 0.2 мм, при данных средствах производства есть случайное событие.

Определение 1. Относительной частотой (или просто частотой) случайного события А, называется отношение числа появления данного события к общему числу проведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться данное событие. Будем писать так:

Пример 4. Пусть по данному объекту из данного орудия при одинаковых условиях произведено 6 серий выстрелов:

в 1-й серии было 5 выстрелов, число попаданий 2,

во 2-й серии чбыло 10 выстрелов, число попаданий 6,

в 3-й серии было 12 выстрелов, число попаданий 7,

в 4-й серии было 50 выстрелов, число попаданий 27,

в 5-й серии было 100 выстрелов, число попаданий 49,

в 6-й серии 200 выстрелов, число попаданий 102.

Событие А — попадание в цель. Относительная частота попадания в сериях будет

Из наблюдений различных явлений следует, что если число испытаний в каждой серии практически невелико, то относительные частоты появления события А в каждой серии могут существенно

отличаться одна от другой. Если же число опытов в сериях велико, то, как правило, относительные частоты появления события А в различных сериях отличаются друг от друга мало и это отличие тем меньше, чем больше испытаний в сериях. Говорят, что относительная частота при большом числе испытаний все более перестает носить случайный характер. Однако отметим, что существуют такие события, у которых относительная частота не носит устойчивый характер и ее величины в различных сериях, даже очень больших, могут сильно отличаться друг от Друга.

Опыт показывает, что в подавляющем большинстве случаев существует постоянное число такое, что относительные частоты появления события А при большом числе испытаний, кроме редких случаев, мало отличаются от этого числа .

Этот опытный факт символически записывают так;

Число называется вероятностью появления случайного события А. Последнюю фразу символически записывают так:

Вероятность является объективной характеристикой возможности появления события А при данных испытаниях, определяющейся характером события А.

Относительная частота при большом числе испытаний мало отличается от вероятности, «кроме редких случаев», существованием которых часто можнопренебречь.

Коротко словами соотношение (2) формулируют так:

При неограниченном увеличении числа опытов относительная частота события А сходится к вероятности появления этого события.

Замечание. В приведенных рассуждениях мы на основании опытов постулировали соотношение (2). Но постулируют и другие естественные условия, следующие из опыта. Из них выводится соотношение (2), которое тогда уже будет теоремой. Это известная в теории вероятностей теорема Я. Бернулли (1654—1705).

Так как вероятность является объективной характеристикой возможности появления некоторого события, то для предсказания характера протекания многих процессов, которые приходится рассматривать и в военном деле, и в организации производства, и в экономике и т. д., нужно уметь определять вероятность появления некоторых сложных событий. Определение вероятности появления события по вероятностям элементарных событий, определяющих данное сложное событие, изучение вероятностных закономерностей различных случайных событий и является предметом теории вероятностей.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление