Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 9. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть имеем дискретную случайную величину с соответствующим законом распределения

Определение 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины х (будем его обозначать М [х] или ) называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений:

или коротко

При этом, как ранее указывалось,

Если значения случайной величины образуют бесконечную последовательность значений, то

Будем рассматривать только такие случайные величины, для которых этот ряд сходится.

Установим связь математического ожидания случайной величины со средним арифметическим значением случайной величины при большом числе испытаний, а именно покажем, что при большом числе испытаний среднее арифметическое наблюдаемых значений близко к ее математическому ожиданию, или в терминах, установленных в § 1, можно сказать, что среднее арифметическое наблюдаемых значений случайной величины при неограниченном возрастании числа испытаний стремится к ее математическому ожиданию.

Пусть производится N независимых опытов. Предположим, что

Случайная величина принимает значения Вычислим среднее арифметическое полученных значений величины его обозначать через или ):

Но так как при большом числе испытаний N относительная частота стремится к вероятности появления значения , то

При довольно естественных предположениях получается

Замечание 1. Если бы мы рассмотрели схему урн с N шарами, где шаров с числовой отметкой шаров с числом и т. д., то «ожидаемое число» при вынимании одного шара будет выражаться формулой (2), т. е. равно .

Пример 1. Определить математическое ожидание случайной величины числа попаданий при трех выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле

Решение. Случайная величина может принять значения

Составим таблицу распределения данной случайной величины.

Вероятность этих значений находим теореме о повторных испытаниям

Таблица распределения случайной величины будет

Математическое ожидание вычисляем по формуле (1):

Пример 2. Производится один выстрел по объекту. Вероятность попадания равна . Определить математическое ожидание случайной величины числа попаданий.

Составляем: таблицу распределения случайной величины

Следовательно

Замечание 2. В дальнейшем будет установлено, что математическое ожидание числа появления события А при независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события А при каждом испытании:

Если в формуле (4) — число выстрелов, — вероятность по падания, то решение задачи примера 1 будет следующее:

Если в формуле (4) известны , то находится — число испытаний, дающих заданное математическое ожидание числа наступления события:

Пример 3. Вероятность попадания при одном выстреле Определить расход снарядов, обеспечивающих математическое ожидание числа попаданий, равное

(Отметим еще раз, что подобные задачи имеют место в различных исследованиях. Там слово «попадание» заменяется словами «появление события», слово - словом «испытание».

Пример 4. Определить математическое ожидание случайной величины, со следующей таблицей распределения:

Смотри пример 2 § 7.

Решение: По формуле (1) имеем (обозначая )

Итак,

Заметим, что

Эти соотношения можно объяснить, исходя из смысла задачи.

Действительно, если вероятность появления события А при каждом испытании близка к то можно ожидать, что событие А произойдет при одном (первом) испытании да 1). Если же вероятность мала то можно ожидать, что для того, чтобы произошло событие А, потребуется произвести очень много испытаний

Математическое ожидание случайной величины называется центром распределения вероятностей случайной величины

Замечание 3. Название «центр распределения вероятностей» введен по аналогии с названием «центр масс». Если на оси Ох в точках с абсциссами помещены массы

то из аналитической геометрии известно, что абсцисса центра этих масс определяется по формуле

Если

Формула (5) по виду совпадает с формулой (1) для математического ожидания.

Итак, установлено, что центр масс и математическое ожидание вычисляются по аналогичным формулам. Отсюда и название «центр распределения вероятностей».

Рис. 411.

Рис. 412.

Пусть дана случайная величина с соответствующим законом распределения (рис. 411); пусть ее математическое ожидание . Рассмотрим далее разность случайной величины и ее математического ожидания

Эту случайную величину будем называть центрированной случайной величиной или отклонением и обозначать

Очевидно, что закон распределения этой случайной величины будет (рис. 412).

Найдем математическое ожидание центрированной случайной величины:

Итак, математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю.

Замечание 4. Иногда бывает целесообразно неслучайную (достоверную) постоянную величину с рассматривать как случайную величину, которая с вероятностью 1 принимает значение с, а другие значения принимает с вероятностью 0.

Тогда имеет смысл говорить о математическом ожидании постоянной:

т. е. математическое ожидание постоянной равно самой постоянной.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление