Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 23. Двумерная случайная величина

С двумерными случайными величинами приходится иметь дело, например, при рассмотрении процесса поражения объекта, находящегося на плоскости хОу. Значение двумерной случайной величины определяется двумя числами саму двумерную случайную величину будем обозначать Пусть принимают дискретные значения Пусть каждой паре значений из некоторой совокупности соответствует определенная вероятность Мы можем составить таблицу распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины

Очевидно, что должно выполняться равенство

Определим, далее, непрерывную двумерную случайную величину. Вероятность того, что значение двумерной случайной величины удовлетворяет неравенствам будем обозначать так: .

Рис. 442,

Рис. 443.

Определение 1. Функция называется плотностью распределения двумерной случайной величины если с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно, выполняется равенство

Формула (2) вполне аналогична формуле (2) § 12.

Рассмотрим прямоугольную систему координат Если значения случайной величины будем обозначать точками плоскости с соответствующими координатами х и у, то выражение обозначает вероятность того, что двумерная случайная величина примет значение, обозначенное точкой, находящейся в заштрихованном прямоугольнике Будем говорить, что «значение случайной величины попало в область .

Вероятность также будем обозначать . В этих обозначениях равенство (2) можно переписать так:

Докажем далее следующую теорему, аналогичную теореме 1 § 12.

Теорема 1. Вероятность того, что двумерная случайная величина с плотностью распределения попадет в область D, выражается двойным интегралом от функции f (х, у) по области D, т. е.

Доказательство. Разбиваем область D, как это делалось в теории двойных интегралов, на площадки Для каждой площадки пишем равенство (3) и складываем левые и правые части полученных равенств. Так как с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно получаем приближенное равенство

Переходя к пределу в правой части последнего равенства при , справа получим двойной интеграл и на основании свойств интегральной суммы точное равенство

Теорема доказана.

Замечание 1. Если область D есть прямоугольник, ограниченный прямыми , то

Замечание 2. Аналогично равенству (1) выполняется равенство

так как достоверно, что двумерная величина примет какое-то значение. Там, где функция не определена по смыслу задачи, полагаем

Рис. 444,

Если область D является суммой прямоугольников вида, изображенного на рис. 444, то вероятность попадания случайной величины в такую область определяется как сумма вероятностей для отдельных прямоугольников,

т. е. как сумма определенных интегралов по каждому прямоугольнику:

Пример. Плотность распределения двумерной случайной величины задается формулой

Определить вероятность того, что значение случайной величины попадет в прямоугольник, ограниченный прямыми

Решение. По формуле (5) получаем

Определение 2. Функция

называется интегральной функцией распределения вероятностей двумерной случайной величины

Очевидно, что интегральная функция распределения выражает вероятность того, что , т. е.

Геометрически функция распределения выражает вероятность того, что двумерная случайная величина попала в бесконечный четырехугольник, заштрихованный на рис. 445.

Рис. 445.

На основании теоремы о дифференцировании определенного интеграла по параметру устанавливается связь между плотностью распределения и интегральной функцией распределения:

Плотность вероятности двумерной случайной величины является смешанной производной второго порядка от интегральной функции распределения.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление