Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Обратная матрица

Пусть дан вектор X. Произведем над ним преобразование с помощью квадратной матрицы А, получим вектор У:

Пусть определитель матрицы А отличен от нуля: Тогда существует обратное преобразование вектора У в вектор X. Это преобразование находится путем решения системы уравнений (3) § 5 относительно Матрица обратного преобразования называется обратной матрицей к А и обозначается Таким образом, можем написать

Здесь X — столбцевая матрица, У — столбцевая матрица, АХ — столбцевая матрица, квадратная матрица. Подставляя вместо У в правой части равенства (2) правую часть равенства (1), получаем

Над вектором X последовательно произвели преобразование с матрицами т. е. произвели преобразование с матрицей, равной произведению матриц . В результате получилось тождественное преобразование. Следовательно, матрица есть единичная матрица:

Равенство (3) имеет вид

Теорема 1. Если матрица - обратная к матрице А, то и матрица А — обратная к матрице , т. е. справедливы равенства

Доказательство. К обеим частям равенства (3) применим преобразование с помощью матрицы А:

Пользуясь свойством сочетательности при умножении матриц, последнее равенство можно переписать так:

Отсюда следует, что

Утверждение доказано.

Из равенств (4) и (7) следует, что матрицы взаимно обратные. Из указанных равенств также следует

Действительно, из равенств (7) следует

Сравнивая последнее равенство с равенством (4), получаем равенство (8).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление