Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14. Квадратичные формы и их преобразования

Определение 1. Квадратичной формой от нескольких переменных называется однородный многочлен второй степени от этих переменных.

Квадратичная форма от трех переменных имеет вид

где заданные числа, коэффициенты 2 взяты для того, чтобы получить более простые последующие формулы.

Равенство (1) можно написать так:

где - заданные числа, при этом

Матрица

называется матрицей квадратичной формы (1). Данная матрица симметричная.

Будем считать координатами точки пространства или координатами вектора в ортогональном базисе где - единичные векторы.

Рассмотрим линейное преобразование в базисе

Матрица этого преобразования совпадает с матрицей квадратичной формы.

Определим далее два вектора

Преобразование (5) запишем в форме

Тогда квадратичную форму (2) можно представить как скалярное произведение этих векторов:

Пусть - ортогональные собственные векторы преобразования (8), соответствующие собственным значениям Можно доказать, что если матрица симметрична, то существует ортогональный базис, составленный из собственных векторов матрицы. Произведем преобразование (8) в базисе Тогда матрица преобразования в этом базисе будет диагональной

(см. § 12):

Можно показать, что применяя это преобразование к квадратичной форме (1), можно привести последнюю к виду

Направления собственных векторов называются главными направлениями квадратичной формы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление