Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 23. Неоднородные линейные уравнения второго порядка

Пусть имеем неоднородное линейное уравнение второго порядка

Структура общего решения такого уравнения (1) определяется следующей теоремой:

Теорема 1. Общее решение неоднородного уравнения (1) представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения у и общего решения у соответствующего однородного уравнения

Доказательство. Нужно доказать, что сумма

есть общее решение уравнения (1). Докажем сначала, что функция (3) есть решение уравнения (1).

Подставляя сумму в уравнение (1) вместо у, будем иметь или

Так как у есть решение уравнения (2), то выражение, стоящее в первых скобках, тождественно равно нулю. Так как у есть решение уравнения (1), то выражение, стоящее во вторых скобках, равно Следовательно, равенство (4) является тождеством. Таким образом, первая часть теоремы доказана.

Докажем теперь, что выражение (3) есть общее решение уравнения т. е. докажем, что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

каковы бы ни были числа (лишь бы было взято из той области, где функции непрерывны).

Заметив, что у можно представить в форме , где - линейно независимые решения уравнения (2), а - произвольные постоянные, можем переписать равенство (3) в виде

Тогда на основании условий (5) будем иметь

Из этой системы уравнений нужно определить Переписав систему в виде

замечаем, что определитель этой системы есть определитель Вронского для функций , в точке Так как эти функции по условию линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю; следовательно, система (6) имеет определенное решение , т. е. существуют такие значения при которых формула (3) определяет решение уравнения (1), удовлетворяющее данным начальным условиям. Теорема полностью доказана.

Таким образом, если известно общее решение "у однородного уравнения (2), то основная задача при интегрировании неоднородного уравнения (1) состоит в нахождении какого-либо его частного решения у.

Укажем общий метод нахождения частных решений неоднородного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных. Напишем общее решение однородного уравнения (2)

Будем искать частное решение неоднородного уравнения (1) в форме (7), рассматривая как некоторые пока неизвестные функции от

Продифференцируем равенство (7):

Подберём искомые функции так, чтобы выполнялось равенство

Если учесть это дополнительное условие, то первая производная у примет вид

Дифференцируя теперь это выражение, найдем :

Подставляя в уравнение (1), получим

или

Выражения, стоящие в первых двух скобках, обращаются в нуль,

так как решения однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство принимает вид

Таким образом, функция (7) будет решением неоднородного уравнения (1) в том случае, если функции удовлетворяют системе уравнений (8) и (9), т. е. если

Так как определителем этой системы является определитель Вронского для линейно независимых решений уравнения (2), то он не равен нулю; следовательно, решая систему, мы найдем как определенные функции от х:

Интегрируя, получим

где — постоянные интегрирования.

Подставляя полученные выражения в равенство (7), найдем интеграл, зависящий от двух произвольных постоянных , т. е. общее решение неоднородного уравнения. Пример. Найти общее решение уравнения

Решение. Найдем общее решение однородного уравнения

Так как

Чтобы последнее выражение было решением данного уравнения, надо определить как функции от из системы

Решая эту систему, найдем

откуда в результате интегрирования получаем

Подставляя найденные функции в формулу получаем общее решение неоднородного уравнения

или где произвольные постоянные.

При отыскании частных решений полезно пользоваться результатами следующей теоремы.

Теорема 2. Решение у уравнения

где правая часть есть сумма двух функций можно представить в виде суммы , где — соответственно решения уравнений

Доказательство. Складывая правые и левые части равенств (11) и (12), получим

Из последнего равенства и следует, что сумма

есть решение уравнения (10).

Пример. Найти частное решение у уравнения

Решение. Частное решение уравнения

будет

Частное решение уравнения

будет

Частное решение данного уравнения будет

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление