Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 25. Неоднородные линейные уравнения высших порядков

Рассмотрим уравнение

где — непрерывные функции от х (или постоянные числа). Пусть нам известно общее решение

соответствующего однородного уравнения

Как и в случае уравнения второго порядка, для уравнения (1) справедливо следующее утверждение.

Теорема. Если у — общее решение однородного уравнения (3), а у — частное решение неоднородного уравнения (1), то

есть общее решение неоднородного уравнения.

Таким образом, задача интегрирования уравнения (1), как и в случае уравнения второго порядка, сводится к нахождению частного решения неоднородного уравнения.

Как и в случае уравнения второго порядка, частное решение уравнения (1) можно находить способом вариации произвольных постоянных, считая в выражении функциями от

Составим систему уравнений (ср. § 23)

Эта система уравнений с неизвестными функциями имеет вполне определенные решения. (Определитель из коэффициентов при представляет собой определитель Вронского, составленный для частных решений однородного уравнения, а так как эти частные решения по условию линейно независимы, то определитель Вронского отличен от нуля.)

Итак, система (4) может быть решена относительно функций Найдя их и интегрируя, получим

где постоянные интегрирования.

Докажем, что в таком случае выражение

есть общее решение неоднородного уравнения (1).

Дифференцируем выражение (5) раз, принимая каждый раз во внимание равенства (4); тогда будем иметь

Умножая члены первого, второго, и, наконец, последнего уравнения соответственно на и 1 и складывая, получим

так как частные решения однородного уравнения, и поэтому суммы членов, полученные при сложении по вертикальным столбцам, равны нулю.

Следовательно, функция

функции от определенные из уравнений является решением неоднородного уравнения (1). Это решение зависит от произвольных постоянных Как и в случае уравнения второго порядка, доказывается, что это есть общее решение.

Таким образом, утверждение доказано.

В случае неоднородного уравнения высшего порядка с постоянными коэффициентами (ср. § 24) частные решения иногда находятся проще, а именно:

I. Пусть в правой части дифференциального уравнения стоит функция где - многочлен от тогда надо различать два случая:

а) если а не является корнем характеристического уравнения, то частное решение можно искать в виде

где многочлен той же степени, что и но с неопределенными коэффициентами;

б) если а есть корень кратности характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения можно искать в форме

где многочлен той же степени, что и

Пусть правая часть уравнения имеет вид

где M и N — постоянные числа. Тогда вид частного решения определяется следующим образом:

а) если число не есть корень характеристического уравнения, то частное решение имеет вид

где А и В — постоянные неопределенные коэффициенты;

б) если число есть корень характеристического уравнения кратности , то

III. Пусть

где многочлены от х. Тогда:

а) если число не является корнем характеристического многочлена, то частное решение ищем в виде

где - многочлены, степень которых равна наивысшей степени многочленов ;

б) если число является корнем кратности характеристического многочлена, то частное решение ищем в виде

где имеют тот же смысл, что и в случае а).

Общее замечание к случаям II и III. Даже тогда, когда в правой части уравнения стоит выражение, содержащее только или только мы должны искать решение в том виде, как было указано, т. е. с синусом и косинусом. Иными словами, из того, что правая часть не содержит или отнюдь не следует, что частное решение уравнения не содержит этих функций. В этом мы могли убедиться, рассматривая примеры 4, 5, 6 предыдущего параграфа, а также пример 2, приведенный в этом параграфе.

Пример 1. Найти общее решение уравнения Решение. Характеристическое уравнение имеет корни

Находим общее решение однородного уравнения (см. пример 4 § 22)

Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме

Дифференцируя у четыре раза и подставляя полученные выражения в заданное уравнение, получим

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

Следовательно,

Общий интеграл неоднородного уравнения находится по формуле , т. е.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Характеристическое уравнение имеет корни Следовательно, общим решением соответствующего однородного уравнения является:

Далее, правая часть данного неоднородного уравнения имеет вид

где

Так как является простым корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

Подставляя это выражение в уравнение, найдем

откуда

или . Следовательно, частным решением дифференциального уравнения является

а общим решением

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление