Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 27. Свободные колебания. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний

Рассмотрим сначала уравнение свободных колебаний

Напишем соответствующее характеристическое уравнение

и найдем его корни:

1) Пусть Тогда корни и действительные отрицательные числа. Общее решение выражается через показательные функции:

Из этой формулы следует, что отклонение у при любых начальных условиях асимптотически стремится к нулю, если . В данном случае колебаний не будет, так как силы сопротивления велики по сравнению с коэффициентом жесткости рессоры

2) Пусть тогда корни равны между собой (и равны отрицательному числу ). Поэтому общее решение будет

Здесь отклонение также стремится к нулю при однако не так быстро, как в предыдущем случае (благодаря наличию сомножителя ).

3) Пусть т. е. отсутствует сила сопротивления. Уравнение (1) примет вид

Характеристическое уравнение имеет вид , а его корни равны , где Общее решение:

В последней формуле произвольные постоянные заменим другими. Именно, введем постоянные связанные с соотношениями

через определяются так:

Подставляя значения в формулу (5), будем иметь

или

Колебания в этом случае называются гармоническими. Интегральными кривыми являются синусоиды. Промежуток времени Т, за который аргумент синуса изменяется на , называется периодом колебаний; в данном случае Частотой колебания называется число колебаний за время в данном случае частота равна Р; А — величина наибольшего отклонения от положения равновесия — называется амплитудой колебания; называется начальной фазой.

График функции (6) изображен на рис. 276.

Рис. 276.

Рис. 277.

В электротехнических и других дисциплинах широко используют комплексное и векторное изображения гармонических колебаний.

Рассмотрим в комплексной плоскости радиус-вектор постоянной длины

Конец вектора А при изменении параметра t (в данном случае t — время) описывает окружность радиуса А с центром в начале координат (рис. 277). Пусть угол образованный вектором А и осью Ох, выражается так: Величина (5 называется угловой скоростью вращения вектора А. Проекции вектора А на оси будут

Выражения (7) суть решения уравнения (4).

Рассмотрим комплексную величину

или

Комплексная величина , как это было указано в § 1 гл. VII, изображается вектором А.

Таким образом, решения уравнения гармонических колебаний (4) можно рассматривать как проекции вектора А на оси вращающегося с угловой скоростью при начальной фазе

Пользуясь формулой Эйлера (см. (4) § 5 гл. VII), выражение (8) можно переписать так:

Мнимая и действительная части выражения (9) являются решениями уравнения (4).

Рис. 278.

Выражение (9) называется комплексным решением уравнения (4). Перепишем выражение (9) так:

Выражение называют комплексной амплитудой. Обозначим ее через А. Тогда комплексное решение (10) перепишется так:

4) Пусть

В этом случае корни характеристического уравнения — комплексные числа

где

Общий интеграл имеет вид

или

Здесь в качестве амплитуды приходится рассматривать величину зависящую от времени. Так как то она стремится

к нулю при т. е. здесь мы имеем дело с затухающими колебаниями. График затухающих колебаний изображен на рис. 278.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление