Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 32. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера

Мы рассмотрим два метода численного решения дифференциального уравнения первого порядка. В этом параграфе рассмотрим метод Эйлера. Найдем приближенно решение уравнения

на отрезке удовлетворяющее начальному условию при Разделим отрезок точками на равных частей . Обозначим

, следовательно,

Пусть есть некоторое приближенное решение уравнения (1) и

Обозначим

В каждой из точек в уравнении (1) производную заменим отношением конечных разностей:

При будем иметь

или

В этом равенстве известны, следовательно, находим

При уравнение (2) примет вид

или

Здесь известными являются определяется. Аналогично находим

Таким образом, приближенные значения решения в точках найдены. Соединяя на координатной плоскости точки отрезками прямой, получим ломаную — приближенное изображение интегральной кривой (рис. 291). Эта ломаная называется ломаной Эйлера.

Замечание. Обозначим через приближенное решение уравнения (1), соответствующее ломаной Эйлера при Можно доказать, что если существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям и определенное на отрезке , то при любом из отрезка

Рис. 291,

Пример. При найти приближенное значение решения уравнения

удовлетворяющего начальному условию при

Решение Разделим отрезок [0, 1] на 10 частей точками Следовательно, Значения будем искать по формуле (2):

или

Таким образом, получаем

В процессе решения составляем таблицу:

Мы нашли приближенное значение Точное решение данного уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям, будет

Следовательно,

Абсолютная погрешность: 0,2566; относительная погрешность: .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление