Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 6. Замена переменных в двойном интеграле (общий случай)

Пусть в плоскости Оху дана область D, ограниченная линией L. Предположим, что координаты х и у являются функциями новых переменных и :

причем функции однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные в некоторой области которая будет определена ниже. Тогда по формулам (1) каждой паре значений соответствует единственная пара значений Предположим далее, что функции таковы, что если мы дадим х и у определенные значения из области D, то по формулам (1) найдем определенные значения и и

Рассмотрим прямоугольную систему координат На основании сказанного следует, что каждой точке на плоскости Оху (рис. 319) однозначно соответствует точка на плоскости с координатами , которые определяются по формулам (1).

Рис. 318.

Рис. 319.

Числа и и v называются криволинейными координатами точки Р.

Если в плоскости Оху точка опишет замкнутую линию L, ограничивающую область D, то в плоскости соответствующая точка опишет замкнутую линию L, ограничивающую некоторую область при этом каждой точке области D соответствует точка области

Таким образом, формулы (1) устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками областей D и D или, как говорят, взаимно однозначно отображают область D на область D.

Рассмотрим в области линию . По формулам (1) найдем, что в плоскости Оху ей будет соответствовать, вообще говоря, некоторая кривая. Точно так же каждой прямой плоскости будет соответствовать некоторая линия в плоскости Оху.

Разобьем область D прямыми на прямоугольные площадки (при этом площадки, задевающие границу области мы не будем принимать в расчет). Соответствующими кривыми линиями область D разобьется на некоторые криволинейные четырехугольники (рис. 319).

Рассмотрим в плоскости прямоугольную площадку , ограниченную прямыми

и соответствующую ей криволинейную площадку в плоскости Оху. Площади этих площадок тоже обозначим соответственно через и . Тогда, очевидно,

Вообще говоря, площади различны.

Пусть в области D задана непрерывная функция

Каждому значению функции в области D соответствует то же самое значение функции в области D, где

Рассмотрим интегральные суммы от функции z по области D. Очевидно, имеет место следующее равенство:

Вычислим , т. е. площадь криволинейного четырехугольника в плоскости рис. 319).

Определим координаты его вершин:

При вычислении площади криволинейного четырехугольника будем считать линии попарно параллельными прямыми; кроме того, приращения функций будем заменять соответствующими дифференциалами. Таким образом, мы будем пренебрегать бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с бесконечно малыми Тогда формулы (3) будут иметь вид

При сделанных допущениях криволинейный четырехугольник можно рассматривать как параллелограмм. Его площадь приближенно равна удвоенной площади треугольника

и находится по формуле аналитической геометрии:

здесь вторые (внешние) вертикальные линейки означают, что этот определитель берется по абсолютной величине. Введем обозначение

Таким образом,

Определитель I называется функциональным определителем функций . Его называют также якобианом по имени немецкого математика Якоби.

Равенство (4) является только приближенным, так как в процессе вычисления площади мы пренебрегли бесконечно малыми высшего порядка. Однако чем меньшими будут размеры площадок , тем это равенство будет точнее. Оно становится совершенно точным в пределе, когда диаметры площадок стремятся к нулю:

Применим теперь полученное равенство к вычислению двойного интеграла. На основании равенства (2) можем написать

(интегральная сумма справа распространена на область D). Переходя к пределу при получим точное равенство:

Это и есть формула преобразования координат в двойном интеграле. Она дает возможность свести вычисление двойного интеграла по области D к вычислению двойного

интеграла по области D, что может упростить задачу. Впервые строгое доказательство этой формулы было дано выдающимся русским математиком М. В. Остроградским.

Замечание. Переход от прямоугольных координат к полярным, рассмотренный в предыдущем параграфе, является частным случаем замены переменных в двойном интеграле.

Рис. 320.

Рис. 321.

В этом случае

Кривая на плоскости переходит в прямую АВ на плоскости Кривая на плоскости Оху переходит в прямую DC на плоскости

Прямые AD и ВС плоскости Оху переходят в прямые плоскости Кривые переходят в кривые

Вычислим якобиан преобразования декартовых координат х и у в полярные

Следовательно, и поэтому

Эта формула и была установлена в предыдущем параграфе. Пример. Пусть требуется вычислить двойной интеграл

по области D в плоскости ограниченной прямыми

Непосредственное вычисление этого двойного интеграла было бы затруднительным; однако простая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику, стороны которого параллельны осям координат. Положим

Тогда прямые перейдут соответственно в прямые на плоскости прямые же перейдут в прямые

Рис. 322.

Следовательно, заданная область D преобразуется в прямоугольную область изображенную на рис. 322. Остается вычислить якобиан преобразования. Для этого выразим х и у через и и

Решая систему уравнений (6), получим

Следовательно,

и абсолютная величина якобиана равна . Поэтому

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление