Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 14. Момент инерции и координаты центра масс тела

1. Момент инерции тела. Моменты инерции точки массы относительно координатных осей Ох, Оу, Оz (рис. 340) выражаются соответственно формулами

Рис. 340.

Моменты инерции тела выражаются соответствующими интегралами. Так, например, момент инерции тела относительно оси выражается интегралом - плотность вещества.

Пример 1. Вычислить момент инерции прямого кругового цилиндра высоты и радиуса R относительно диаметра его среднего сечения, считая плотность постоянной и равной

Решение. Выберем систему координат следующим образом: направим ось Oz вдоль оси цилиндра, а начало координат поместим в его центре симметрии (рис. 341).

Тогда задача сведется к вычислению момента инерции цилиндра относительно оси Переходя в этом интеграле к

цилиндрическим координатам, получим

2. Координаты центра масс тела. Аналогично тому, что мы имели в § 8 гл. XII (т. I) для плоских фигур, координаты центра масс тела выражаются формулами

где — плотность.

Рис. 341.

Пример 2. Определить координаты центра масс верхней половины шара радиуса R с центром в начале координат, считая плотность постоянной.

Решение. Полушар ограничен поверхностями Аппликата его центра масс определяется формулой

Переходя к сферическим координатам, получаем

Очевидно, что в силу симметрии полушара

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление