Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Поверхностный интеграл

Пусть в прямоугольной системе координат Охуг задана некоторая область . Пусть в области V задана поверхность , ограниченная некоторой пространственной линией .

Относительно поверхности а мы будем предполагать, что в каждой ее точке Р определяется положительное направление нормали единичным вектором , направляющие косинусы которого являются непрерывными функциями координат точек поверхности. Пусть в каждой точке поверхности определен вектор

где X, У, Z — непрерывные функции координат.

Разобьем поверхность каким-либо способом на элементарные площадки . На каждой площадке возьмем произвольную точку

и рассмотрим сумму

где значение вектора F в точке площадки единичный вектор нормали в этой точке, скалярное произведение этих векторов.

Предел суммы (1), распространенный на все площадки при стремлении к нулю диаметров всех таких площадок, называется поверхностным интегралом и обозначается символом

Таким образом, по определению

Каждое слагаемое суммы (1)

может быть истолковано механически следующим образом: это произведение равно объему цилиндра с основанием и высотой Если вектор F есть скорость жидкости, протекающей через поверхность а, то произведение (3) равно количеству жидкости, протекающей через площадку за единицу времени в направлении вектора , - (рис. 352).

Рис. 352.

Выражение представляет собой общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность о в положительном направлении, если под вектором F подразумевать вектор скорости течения Жидкости в данной точке. Поэтому поверхностный интеграл (2) называется потоком векторного поля F через поверхность .

Из определения поверхностного интеграла следует, что если поверхность а разбить на части , то

Выразим единичный вектор через его проекции на оси координат:

Подставляя в интеграл (2) выражения векторов через их проекции, получим

Произведение есть проекция площадки на плоскость аналогичное утверждение справедливо и для произведений

где проекции площадки на соответствующие координатные плоскости.

Рис. 353.

На основании этого интеграл (2) записывают также в другой форме:

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление