Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

Упражнения к главе XV

Вычислить следующие криволинейные интегралы:

Интегралы по поверхности

Найти криволинейные интегралы, применяя формулу Стокса и непосредственно: —

Применяя формулу Остроградского, преобразовать поверхностные интегралы в интегралы по объему:

С помощью формулы Остроградского вычислить следующие интегралы:

где между касательной к контуру С и осью Ох. Если через обозначим угол между нормалью и осью Ох, то . Следовательно,

Полагая

или

43. Доказать тождество (так называемую формулу Грина)

где — функции, непрерывные и имеющие непрерывные производные до второго порядка в области b.

Символы обозначают следующее:

Решение. В формуле

положим Тогда

Следовательно,

44. Доказать тождество

Решение. Положим в формуле Грина, выведенной в предыдущем примере, . Тогда и мы получаем указанное тождество.

45. Если - гармоническая функция в некоторой области т. е. такая функция, которая в любой точке этой области удовлетворяет уравнению Лапласа

то

где а — замкнутая поверхность.

Решение. Это непосредственно следует из формулы задачи 44.

46. Пусть - гармоническая функция в некоторой области V и пусть в области V находится сфера о с центром в точке и радиусом R. Доказать, что

Решение. Рассмотрим область Q, ограниченную двумя сферами а, а радиусов с центрами в точке Применим к этой области формулу Грина, установленную в задаче 43, приняв за и указанную выше функцию, а за функцию

Непосредственным дифференцированием и подстановкой убеждаемся, что

или

На поверхностях величина постоянна и потому может быть вынесена за знак интеграла, В силу результата, установленного в задаче 45, имеем

Следовательно!

но

Поэтому

или

Применим к интегралу, стоящему слева, теорему о среднем;

и точка на поверхности сферы радиуса с центром в точке

Заставим стремиться к нулю; тогда

Следовательно, при получаем

Далее, так как правая часть равенства (1) не зависит от , то при окончательно получим

или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление