Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 3. Сравнение рядов с положительными членами

Пусть имеем два ряда с положительными членами

Для них справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), т. е.

и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1).

Доказательство. Обозначим через соответственно частичную сумму первого и второго рядов:

Из условия (3) следует, что.

Так как ряд (2) сходится, то существует предел от его частичной суммы

Из того, что члены рядов (1) и (2) положительны, следует, что и тогда в силу неравенства (4)

Итак, мы доказали, что частичные суммы ограничены. Заметим, что при увеличении частичная сумма возрастает, а из того, что последовательность Частичных сумм возрастает и ограничена, следует, что она имеет предел

причем очевидно, что

На основании теоремы 1 можно судить о сходимости некоторых рядов.

Пример 1. Ряд

сходится, так как его члены не больше соответствующих членов ряда

Но последний ряд сходится, так как его члены, начиная со второго, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2. Сумма этого ряда равна 3/2. Следовательно, в силу теоремы 1 данный ряд тоже сходится, причем его сумма не превосходит 3/2.

Теорема 2. Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), т. е.

и ряд (2) расходится, то и ряд (1) расходится.

Доказательство. Из условия (5) следует, что

Так как члены ряда (2) положительны, то его частичная сумма возрастает при возрастании , а так как он расходится, то

Но тогда в силу неравенства (6)

т. е. ряд (1) расходится.

Пример 2. Ряд

расходится, так как его члены (начиная со второго) больше соответствующих членов гармонического ряда

который, как известно, расходится.

Замечание 1. Оба доказанных признака (теоремы 1 и 2) справедливы только для рядов с положительными членами. Они остаются в силе и для того случая, если некоторые члены 1-го или 2-го ряда — нули. Однако эти признаки, перестают быть верными, если среди членов ряда имеются отрицательные числа.

Замечание 2. Теоремы 1 и 2 справедливы и в случае, если неравенства (3) или (6) начинают выполняться лишь для а не для всех

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление