Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 20. Разложение функции ln(1+x) в степенной ряд. Вычисление логарифмов

Интегрируя равенство (4) § 19 в пределах от 0 до получим

или

Это равенство справедливо в интервале

Если в этой формуле заменить на то получается ряд

который сходится в интервале

С помощью рядов (1) и (2) можно вычислять логарифмы чисел, заключенных между нулем и двумя. Отметим, без доказательства, что при разложение (1) также справедливо.

Выведем формулу для вычисления натуральных логарифмов любых целых чисел.

Так как при почленном вычитании» двух сходящихся рядов получается ряд сходящийся (см. § 1, теорему 3), то, вычитая

почленно равенство (2) из равенства (1), находим

Положим далее, тогда При любом имеем поэтому

откуда

При отсюда получаем

Для вычислёния с заданной степенью точности S надо подсчитать частичную сумму выбрав число ее членов так, чтобы сумма отброшенных членов (т. е. погрешность совершаемая при замене s на ) была меньше допустимой погрешности 6. Для этого оценим погрешность

Так как числа больше то, заменяя их на мы Увеличим каждую дробь. Поэтому

или

Ряд, стоящий в квадратных скобках, есть геометрическая прогрессия со знаменателем Подсчитывая сумму этой прогрессии, найдем

Если мы хотим теперь подсчитать например, с точностью до 0,000000001, то надо выбрать так, чтобы было Этого можно добиться, подобрав так, чтобы правая часть неравенства была меньше 0,000000001. Непосредственным подбором находим, что достаточно взять Итак,

с точностью до 0,000000001 имеем

Итак, . При этом эти девять знаков верные. Полагая в формуле получаем

Таким образам, мы можем получить натуралыгае логарифмы любых целых чисел.

Чтобы получить десятичные логарифмы. чисел, нужно воспользоваться (см. § 8 гл. II т. I) соотношением

где . Тогда, например, получим

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление