Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 21. Вычисление определенных интегралов с помощью рядов

В главах X и XI (т. 1) было указано, что существуют определенные интегралы, которые как функции верхнего предела не выражаются в конечном виде через элементарные функции. Такие интегралы иногда бывает удобно вычислять а помощью рядов» Рассмотрим здесь несколько примеров.

1. Пусть требуется, вычислить интеграл

Здесь первообразная от не является элементарной функцией Для вычисления этого интеграла, разложим подынтегральную функцию в ряд, заменяя в разложении (см. формулу (2) § 17) х на

Интегрируя обе части этого равенства пределах от 0 до получим

С помощью этого равенства мы можем при любом а вычислить данный интеграл с любой степенью точности.

2. Требуется вычислить интеграл

Разложим подынтегральную функцию в ряд: из равенства

докучаем

причем последний ряд сходится при всех значениях Интегрируя почленно, получим

Сумма ряда легко вычисляется с любой степенью точности при любом а.

3. Вычислить эллиптический интеграл

Разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд, положив формулу (5) § 19):

Этот ряд сходится при всех значениях допускает почленное интегрирование, так как он мажорируем на любом интервале. Поэтому

Интегралы, стоящие справа, вычисляются элементарно. При имеем

(см. § 6 гл. XI т. I) и, следовательно,

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление