Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье

Приведем примеры разложения функций в ряды Фурье.

Рис. 374.

Пример 1. Периодическая функция f(х) с периодом определена следующим образом:

Эта функция кусочно монотонная и ограниченная (рис. 375). Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье.

По формуле (4) § 1 находим

Применяя формулу (5) § 1 и интегрируя по частям, найдем

По формуле (6) § 1 находим

Таким образом, получаем ряд

Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. е. нулю.

Рис. 375.

Рис. 376.

Пример 2. Периодическая функция с периодом оцределена следующим образом:

(т. е. ) (рис. 376). Эта функция тоже кусочно монотонна и ограничена на отрезке .

Определим ее коэффициенты Фурье:

И

Таким образом, получаем ряд

Этот ряд сходится во всех точках, сумма равна данной функции.

Рис. 377

Пример 3. Периодическая с периодом функция определена следующим образом;

Эта функция (рис; 377) кусочно монотонна и ограничена на отрезке Вычислим ее коэффициенты Фурье:

Следовательно, для рассматриваемой функции, ряд Фурье имеет вид

Это равенство справедливо во всех точках кроме точек разрыва.

На рис. 378 наглядно показано, как частичные суммы ряда все точнее и точнее представляют функцию f (х) с увеличением .

Пример 4. Периодическая с периодом функция определена следующим образом;

(см. скан)

Рис. 378.

Определим ее коэффициенты Фурье:

Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид

Так как функция кусочно монотонна, ограничена и непрерывна, то это равенство выполняется во всех точках.

Рис. 379,

Полагая в полученном равенстве получим

Пример 5. Периодическая с периодом функция f (х) определена следующим образом:

Определим коэффициенты Фурье:

Таким образом, ряд Фурье будет иметь вид

В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева (т. е. в данном случае числу

Рис. 380,

Полагая в полученном, равенстве получаем

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление