Главная > Математика > Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т.2
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 8. Интеграл Дирихле

В этом параграфе мы выведем формулу, выражающую частичную сумму ряда Фурье через некоторый интеграл. Эта формула будет нам нужна в следующих параграфах.

Рассмотрим частичную сумму ряда. Фурье для периодической функции f(x) с периодом

где

Подставляя эти выражения в формулу для получим

или, подводя под знак интеграла (что возможно, так как не зависят от переменной интегрирования

и, следовательно, могут рассматриваться как постоянные), получим

Вынося теперь за скобки и заменяя сумму интегралов интегралом от суммы, получим

или

Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках. Пусть

тогда

или

Но

Следовательно,

Таким образом, равенство (1) можно переписать так:

Так как подынтегральная функция является периодической (с периодом ), то интеграл сохраняет свое значение на любом отрезке интегрирования длины Поэтому мы можем написать:

Введем новую переменную а, положив Тогда мы получим формулу

Интеграл, стоящий в правой части формулы, называется интегралом Дирихле.

Положим в этой формуле тогда при следовательно, при любом , и мы получаем тождество

которое потребуется нам в дальнейшем.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление