Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Анализ явной схемы установления.

Решение задачи (1), очевидно, удовлетворяет уравнениям

Вычитая эти равенства из уравнений (4) почленно, получим для погрешности следующую разностную задачу:

Заметим, что сеточная функция при каждом обращается в нуль на границе Г. Ее можно считать элементом линейного пространства функций, определенных на сетке и обращающихся в нуль в точках Г. Норму в этом пространстве определим, как в § 27, равенством

В § 27 мы получили представление для решения задачи (17) в виде конечного ряда Фурье. Эта задача только обозначением неизвестной функции отличается от разностной схемы (9) для погрешности . Поэтому

где — коэффициенты разложения начальной погрешности в конечный ряд Фурье, а числа задаются формулой

Числа являются коэффициентами разложения погрешности в ряд Фурье по ортонормальному базису . Поэтому

Отсюда видно, что

При этом всегда можно задать так, чтобы равенство достигалось. Для этого нужно взять где пара номеров, при которой

Таким образом, для стремления к нулю при нужно, чтобы выполнялось неравенство

Наиболее быстрое убывание погрешности получится при таком выборе , при котором принимает наименьшее возможное значение. Из формулы (11) находим самую левую и самую правую точки

(рис. 44). Увеличивая , начиная от мы вызываем сдвиг обеих этих точек влево. При том значении , при котором эти точки будут симметричны относительно точки

дальнейшее увеличение нецелесообразно. Действительно, при таком увеличении правая точка Яправ будет продолжать приближаться к нулю, но зато левая, которая станет больше нее по модулю , будет удаляться от нуля.

При том , при котором и при больших погрешность вообще не будет стремиться к нулю.

Итак, оптимальное находим из условия (14). При этом

Рис. 44.

Поэтому для уменьшения нормы первоначальной погрешности заданное число раз требуется проделать такое число шагов итерационного процесса (4), чтобы

Отсюда

Подсчитаем число арифметических действий, необходимых для уменьшения ошибки в раз. На каждый переход от требуется арифметических действий. Поэтому их общее число .

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление