Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Достаточный признак хорошей обусловленности.

Теорема. Если коэффициенты удовлетворяют условию

то задача (1), (2) хорошо обусловлена, причем решение удовлетворяет оценке

Доказательство. Сначала предположим, что при заданных фиксированных задача (1), (2) имеет решение и установим для него оценку (7). Пусть наибольшее среди чисел есть число . Если или , то неравенство (7) очевидно, так как . Остается рассмотреть случай . В этом случае, с учетом (6), можно написать

и неравенство (6) также выполнено.

Осталось доказать, что задача (1), (2) имеет, и притом только одно, решение при произвольных правых частях

Задачу (1), (2) можно рассматривать как систему линейных уравнений относительно такого же числа неизвестных Поэтому нужно установить, что определитель этой системы отличен от нуля. Как известно из алгебры, определитель системы отличен от нуля в том и только том случае, если соответствующая однородная система имеет лишь нулевое решение. Но для системы (1), (2) однородная система получается при за 0. Из оценки (7), доказанной для каждого решения видно, что в этом случае имеется только тривиальное решение

Достаточным условием хорошей обусловленности задачи (I), (2) является также следующее условие:

где — некоторые постоянные, не зависящие от N и .

Действительно, из (8) следует (6) с постоянной

Поэтому (7) примет вид

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление