Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 41. Запись разностных краевых задач в виде ...

Канонический вид. Разностную схему

для задачи

запишем в виде

Положив

перепишем ее в виде

Слагаемое полностью определяется по , так что его можно записать в форме

где — оператор, который каждой сеточной функции ставит в соответствие сеточную функцию по формуле (2). Запись (1) примет тогда вид

этом параграфе мы покажем и на других примерах, как осуществляется приведение эволюционных разностных краевых задач

к виду (3). Мы установим, что если при таком приведении удовлетворены некоторые естественные требования, то устойчивость задачи (4) на отрезке равносильна выполнению неравенств

где К — некоторая постоянная, не зависящая от h, и сведем, таким образом, исследование устойчивости к оценкам величин , т. е. норм степеней оператора перехода

Аналогичные построения и рассмотрения были проведены в §§ 15 и 16. Напомним, что в § 41 изучение устойчивости было сведено к рассмотрению неравенств

Именно было установлено, что устойчивость равносильна существованию числа с, не зависящего от и такого, что неравенство (6) выполняется при всех

Теперь приступаем к реализации намеченного плана, причем начнем с примера приведения разностной схемы к виду (3). Рассмотрим разностную схему

Яено, что должны быть выполнены условия согласования . В силу условий задачи задано, а функции можно последовательно вычислить. Для этого следует переписать разностное уравнение из схемы (7) в виде

и использовать равенства

Поэтому примем за пространство сеточных функций

с нормой

Запишем теперь разностную краевую задачу в виде

обозначив через оператор, который каждому элементу пространства ставит в соответствие некоторый элемент того же пространства по формулам

При таком выборе оператора сеточная функция из

определится формулой

Этим мы закончили приведение рассматриваемой разностной схемы (7) к виду (3). Мы собираемся использовать запись разностных краевых задач в этом виде для исследования устойчивости. Но для того, чтобы неравенства (6), означающие устойчивость, имели смысл, должна быть определена норма . В нашем примере разностная краевая задача (7) записывается в виде (4), если положить

Норму определим равенством

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление