Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 5. Алгоритм решения краевой задачи — прогонка

1. Описание прогонки.

Опишем теперь простой и удобный метод решения разностной краевой задачи рассмотренного нами в § 4 вида:

Он представляет собою один из вариантов метода исключения неизвестных и носит название метода прогонки.

Запишем уравнение системы (1) в виде

где . Из уравнения

отвечающего в системе (1) номеру исключим с помощью равенства Результат запишем в разрешенном относительно виде

введя обозначения

Соотношением можно воспользоваться, чтобы исключить из уравнения

отвечающего номеру Результат йсключения опять запишем в явном относительно виде

Описанный процесс исключения можно продолжить для n = 3, 4, ...

Подставляя

в уравнение

получим

Отсюда видно, что коэффициенты получаемых в процессе исключения соотношений

вычисляются по рекуррентным формулам

Последнее из получаемых таким образом соотношений имеет вид

Так как то можно вычислить

После этого и т. д. определятся соответственно из равенств

и т. д., пока не будет определено .

Повторим кратко, в чем состоит описанный сейчас вычислительный процесс.

Сначала проводится вычисление-коэффициентов в порядке возрастания номеров (прямая прогонка) по рекуррентным формулам (2), причем заданы.

Затем вычисление неизвестных производится также рекуррентно в порядке убывания номеров (обратная прогонка) по формулам

Отметим, что для вычисления методом прогонки решения системы (1), состоящей из уравнений, нужно проделать арифметические операции в количестве только в конечное число раз большем, чем число неизвестных. На решение произвольной линейной системы N уравнений с N неизвестными методом исключения приходится обычно затрачивать арифметические действия в количестве порядка Такого-сокращения числа арифметических действий при решении системы (1) методом прогонки удалось достигнуть, удачно использовав специфику этой системы.

В § 7 будет показано, что при решении описанным здесь методом прогонки краевой задачи (1), удовлетворяющей одному из указанных в § 4 условий хорошей обусловленности

или

или

выражения на которые приходится делить, не обращаются в нуль, а погрешности, допускаемые в процессе вычислений, не накапливаются и не приводят к возрастающим с ростом N ошибкам в вычисляемых значениях решения.

Эти два замечательных свойства прогонки — малое число арифметических действий для ее реализации и слабая чувствительность к вычислительным погрешностям — делают прогонку очень удобным вычислительным алгоритмом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление