Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Скорость сходимости решения разностного уравнения.

Теперь перейдем к изучению скорости сходимости при различных конкретных способах выбора .

Для определения естественно воспользоваться разложением решения дифференциального уравнения и по формуле Тейлора. Пользуясь тем, что в силу этого уравнения , перепишем формулу Тейлора так:

Такое равенство имеет место для точного решения дифференциального уравнения. При приближенном решении, ограничиваясь двумя членами этого разложения, можно положить

Если мы решили ограничиться только одним членом, то полагаем

В первом из этих двух случаев мы допускаем в начальном значении ошибку порядка , во втором — ошибку порядка h.

Выясним скорость сходимости в каждом из этих двух случаев задания начальных данных.

Положим

Тогда (см. формулы (9))

Возвращаясь к равенству (12), легко приходим к выводу, который и является нашей целью:

Он формулируется так. Если начальное значение задается с точностью до величины порядка , то и погрешность в решении будет порядка , т. е. разностная схема имеет второй порядок точности.

Можно показать, что даже если задать в качестве точное значение большей точности, чем порядка в решении добиться нельзя. Советуем читателю в качестве упражнения доказать высказанное утверждение.

Легко также проверить, что если в качестве задавать не точно b, а любую величину вида , то скорость сходимости все равно будет второго порядка.

Перейдем к рассмотрению второго изучаемого нами случая задания начальных данных. Полагаем

При этом

и, следовательно,

Таким образом, если допустить в начальных данных ошибку порядка , то и ошибка в решении будет порядка h.

Подведем итог. Мы видели, что рассматриваемая разностная схема

в отличие от схемы

может дать более высокую скорость сходимости, а именно сходимость с остаточным членом порядка , а не порядка h, как у второй из этих схем. Для того чтобы добиться второго порядка точности, надо, задавая точное выбирать отличающимся от значения точного решения дифференциального уравнения в точке на величину порядка . Можно было бы показать, что и можно задавать не точно, а с ошибкой порядка От этого порядок скорости сходимости не уменьшится. Уточнение начальных данных до порядка и выше не дает увеличения точности решения.

Если задавать начальные данные с ошибкой порядка , то и решение получим с ошибкой того же порядка.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление