Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Сходящаяся разностная схема для интегрального уравнения.

Построим и исследуем разностную схему для вычисления решения интегрального уравнения

Будем предполагать, что

Зададим N, положим и будет искать таблицу значений решения на сетке Для получения разностной схемы мы в равенстве

приближенно заменим интеграл суммой, пользуясь квадратурной формулой трапеций. Напомним эту формулу: для произвольной дважды дифференцируемой на отрезке функции справедливо приближенно равенство

причем погрешность есть величина . После указанной замены интеграла получим

Выписанная система равенств записывается в форме если положить

где

Построенная разностная схема аппроксимирует задачу на решении и со вторым порядком относительно шага А, поскольку квадратурная формула трапеций имеет второй порядок точности. Проверим устойчивость. Пусть решение системы (20), и пусть — одна из тех компонент решения, которые по модулю не меньше каждой из остальных:

Из уравнения с номером системы (20) следует

Поэтому

В частности, при отсюда следует, что система (20) не имеет нетривиальных решений, а следовательно, однозначно разрешима при любой правой части Неравенство (21) означает устойчивость (6) с постоянной . Решение задачи в силу теоремы о сходимости удовлетворяет неравенству

где — некоторая постоянная.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление