Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Устойчивость как ограниченность норм степеней оператора перехода.

Сделаем замечание, которое одинаково применимо к уравнениям вида (13) независимо от размерности линейного пространства У, которому принадлежат векторы и от вида линейного оператора из записи (13) следует запись (6).

Если в пространстве которому принадлежат введена какая-либо норма то из равенств (6) вытекает оценка

Напомним, что нормой линейного оператора Т, отображающего какое-либо линейное нормированное пространство Y в себя, называется число

Отсюда и из свойств нормы векторов следует:

Первые два из этих свойств использованы для получения оценки (15).

Из (15), очевидно, вытекает

Пусть разностная схема приведена к каноническому виду (13), и пусть нормы, введенные в пространствах

, подобраны так, что выполнены неравенства

Тогда для устойчивости

достаточно, чтобы нормы степеней операторов были равномерно по h ограничены, т. е. чтобы выполнялось условие

При этом в качестве числа С, входящего в определение устойчивости (18), можно взять число

Доказательство этого утверждения содержится в следующей цепочке очевидных неравенств, написанных с учетом , условий (17) и (18):

или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление