Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Замечания об устойчивости.

Для задачи линейной и с постоянным коэффициентом А, схемы Рунге — Кутта после исключения окажутся схемами первого порядка,

Корень характеристического уравнения равен

В случае для получается задание, совпадающее с точным решением с точностью до , где — порядок аппроксимации. Поскольку

а

то

Таким образом,

Степени ведут себя «правильно»: они растут, если и решение дифференциального уравнения растет. Они убывают, если и решение убывает.

В случае схемы Адамса (8)

характеристическое уравнение имеет вид

Отсюда

Таким образом, решение ведет себя при измельчении , как , а «паразитическое» решение , вызванное выбором разностного уравнения второго порядка, стремится к нулю, так как и на устойчивость не влияет.

Читателю полезно сравнить схему (13) со схемой второго порядка (2) из § 17:

Для нее

«Паразитический» корень при положительном Л по модулю больше корня что и приводило к большой постоянной в оценке устойчивости для этой схемы и к практической непригодности ее при больших А, установленной в § 17.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление