Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Схемы с пересчетом, или схемы предиктор-корректор.

При построении разностных схем, аппроксимирующих нестационарные задачи, может быть использована та же идея, которая лежит в основе конструкции схем Рунге — Кутта для обыкновенных дифференциальных уравнений, — идея пересчета. Пересчет позволяет повысить порядок аппроксимации, получаемый по исходной схеме, не использующей пересчета. Кроме того, в случае квазилинейных дифференциальных уравнений пересчет дает дополнительную возможность получения так называемых дивергентных схем, о которых будет идти речь в § 30.

Напомним идею пересчета на примере простейшей из схем Рунге — Кутта численного решения задачи Коши для уравнения

Если значение в точке уже вычислено, то для вычисления находим предварительно вспомогательную величину пользуясь простейшей схемой Эйлера (схема «предиктор»)

а затем осуществляем корректирующий пересчет по схеме

Вспомогательная величина найденная по схеме первого порядка точности, позволяет приближенно найти угловой коэффициент интегральной кривой в середине отрезка и получить по формуле (20) с большей точностью, чем это было бы по схеме Эйлера (19).

Мы уже отмечали в п. 4 § 19, что все соображения остаются в силе, если будут конечномерными векторами, вектор-функцией. Но можно пойти и дальше, а именно считать элементами функционального пространства, а оператором в этом пространстве. Например, задачу Коши

, можно считать задачей вида (18), если положить так что при каждом t под у надо понимать функцию аргумента , а под операцией понимать оператор

Приведем пример разностной схемы с пересчетом для задачи (21).

Пример. Пусть сеточная функция при данном уже вычислена. Найдем вспомогательную сеточную функцию отнесенную к моменту времени и к точкам воспользовавшись следующей схемой первого порядка точности:

Затем осуществим коррекцию и найдем с помощью схемы

Исключая из уравнений (22), (23), получим схему

Эта схема при совпадает со схемой (17). Случай несущественно отличается от разобранного. Схема (24), а значит, и схема с пересчетом (22), (23) имеют второй порядок аппроксимации по

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление