Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 27. Представление решений некоторых модельных задач в виде конечных рядов Фурье

Приведем примеры модельных задач, решения которых удается представить в виде конечных рядов Фурье. Такие представления имеют большую ценность, так как позволяют понять свойства рассматриваемых модельных задач, а тем самым и того класса задач, который они моделируют.

Сначала необходимо объяснить, что такое ряды Фурье для сеточных функций.

1. Ряды Фурье для сеточных функций.

Рассмотрим множество всех вещественных функций определенных в точках обращающихся в нуль . Совокупность этих функций с обычными операциями сложения и умножения их на вещественные числа образует линейное пространство. Размерность этого пространства есть , поскольку система функций

, очевидно, образует базис. Действительно, каждую функцию можно единственным образом представить в виде линейной комбинации функций

Введем в рассматриваемом пространстве скалярное умножение, Доложив

Докажем, что система функций

образует ортонормальный базис в рассматриваемом пространстве, т. е. что

Для доказательства заметим, что

Отсюда при получаем

а при

Любая сеточная функция разлагается по ортонормальному базису (2) в сумму

или

где

Ясно, что благодаря ортонормальности базиса (2) имеем

Сумма (4) и есть разложение сеточной функции в конечный ряд Фурье, а равенство - точный аналог равенства Парсеваля в обычной теории рядов Фурье.

Совершенно аналогично можно рассмотреть конечные ряды Фурье для функций на сеточном квадрате. Рассмотрим сетку

причем — натуральное. Совокупность вещественных функций определенных в точках сетки и обращающихся в нуль в точках, лежащих на границе квадрата, образует линейное пространство. Введем в нем скалярное умножение

В рассматриваемом линейном пространстве размерности система функций

образует ортонормальный базис

Это следует из (3), если заметить, что

Любая функция , обращающаяся в нуль на границе квадрата, разлагается в конечный двумерный ряд Фурье

где

Справедливо равенство Парсеваля

Во всех примерах разностных краевых задач, решения которых мы запишем с помощью конечных рядов Фурье, используется выражение

Заметим, что

где

Другими словами, базис (2) состоит из собственных функций оператора переводящего функции из пространства функций, обращающихся в нуль при и , в функции того же пространства по формулам

Собственной функции соответствует собственное значение

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление