Главная > Математика > Разностные схемы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Представление решений разностных схем для уравнения теплопроводности на отрезке.

В качестве первого примера, где удается представить решение в йиде конечного ряда Фурье, рассмотрим простейшую разностную схему

для задачи теплопроводности на отрезке

Задачу (10) перепишем так:

Здесь Е — тождественное отображение: — оператор перехода от или оператор перехода со слоя на слой. Относительно сеточных функций аргумента m

предполагается, что при каждом фиксированном они принадлежат рассмотренному пространству,

Будем искать решения уравнения (12) в виде

Подставляя это выражение в уравнение и сокращая обе части на получим в силу (9) следующее выражение для

Ввиду линейности уравнения (12) выражейие

является его решением при любых произвольных постоянных с, При получаем

Выберем в качестве коэффициенты разложения заданной функции в конечный ряд Фурье, т. е. положим

Тогда решение (13)

будет удовлетворять заданному начальному условию Формула (14) и есть искомое представление решения задачи в виде конечного ряда Фурье.

Коэффициенты разложения функции аргумента при фиксированном по ортонормальному базису

имеют вид

Поэтому, принимая во внимание равенство Парсеваля, получим

причем строгое равенство достигается, если в качестве используется та , для которой наибольшее.

Если , то имеет место неравенство

Положительно определенные квадратичные формы вида

где А — матрица квадратичной формы, напоминают выражения для энергии в уравнениях математической физики. Поэтому неравенства вида

для решений разностных краевых задач называют обычно энергетическими.

Таким образом, оценка (15) есть простейшее энергетическое неравенство. В случае выполнения энергетического неравенства выбор норм естественно связать с формой положив, в частности,

Подобные нормы называются энергетическими.

Неравенство выполнено, как легко видеть, случае, если

При

и при достаточно малых значениях h найдутся . Тогда устойчивости нет ни при каком разумном выборе норм. Рассмотрим разностную схему более общего вида

для той же дифференциальной задачи о теплопроводности (11) Здесь — параметр.

Найдем решения вида

где подлежат определению.

Подставляя это выражение в разностное уравнение, получим соотношение, которому должно удовлетворять

Отсюда

По-прежнему

Энергетическое неравенство (15) имеет место, если

или

Очевидно, что при это неравенство — и энергетическое неравенство (15) также выполняется, каково бы ни было . Если то разностная схема превращается в уже рассмотренную явную схему и, как мы видели, для выполнения энергетического неравенства (15) при всех h нужно, чтобы было

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление