5. Соотношение неопределенности для времени и частоты
Общее условие (8.30а) представляет собой специальный случай принципа неопределенности квантовой механики. Согласно этому принципу переменная q и ее сопряженный импульс р не могут быть одновременно измерены с любой точностью, но существует соотношение между ошибкой
в определении q и ошибкой
в определении р. Это соотношение таково:
где а берется иногда равной постоянной Планка h, а иногда равной постоянной Дирака Оба значения настолько малы, что любое из них приемлемо с точки зрения эксперимента.
Известно, что в механике энергия Е есть импульс, сопряженный переменной времени t, так что согласно (8.37)
Энергия колебаний частоты v есть
, и, следовательно,
и если воспользоваться эмпирическим условием (8.30а), то получим:
Поэтому следовало бы положить
, а не
. Мы еще обсудим этот пункт в конце данного раздела.
Предварительно, однако, приведем рассуждение, при помощи которого в волновой механике вводится принцип неопределенности
. Вычисляется волновая функция f(t), но не предполагается, что она имеет какой-либо прямой физический смысл. Вместе с тем предполагается, что квадрат
дает плотность вероятностей для переменной t. Точнее говоря, вероятность того, что значение t окажется между t и
, определяется как
где Е есть полная энергия волны, определяемая (8.29), из которого следует:
(8.40а)
Аналогично, вероятность того, что частота заключена между v и
равна
и
(8.41а)
Теперь среднее время появления сигнала есть
и средняя частота
Уклонения
от этих средних значений определяются
соотношениями
Средние квадраты этих уклонений равны
Мы определяем средние ошибки М по времени и
по частоте как
и выбираем постоянную а так, чтобы удовлетворялось условие (8.30а). Иначе говоря, мы выбираем а так, чтобы было
(8.45а)
С помощью (8.40), (8.41) и (8.44) получим вместо (8.45а)
Без потери общности можно положить
тогда
.
Первый шаг в определении а состоит в доказательстве тождества
что можно сделать при условии, что как
так и
дифференцируемы и достаточно быстро убывают. Интеграл Фурье (8.21) дает:
и, таким образом,
Интеграл
есть не что иное, как
(см. (8.22)), и тождество (8.47) этим доказано.
Применяя (8.47), можно переписать (8.46) в виде
Для дальнейшего воспользуемся неравенством Шварца)
где
Вычисляя второй интеграл по частям и учитывая, что
стремится к нулю на бесконечности, получаем:
Интегрируем также правую часть неравенства Шварца по частям:
и неравенство Шварца принимает теперь вид
Сравнение с (8.48) показывает, что нужно взять
т. е. мы определяем:
Интересно сравнить эти определения с теми, которые выражены соотношениями (8.31) и (8.32). В предшествующем разделе для примеров (8.25), (8.27) и (8.28) мы имели длительность
и полосу
. Новые определения дают:
В вычислениях, предоставляемых читателю, встречаются интегралы
Во многих статьях и руководствах по квантовой механике принимается
. Тогда
что
Если такие же определения приняты для
то соотношение неопределенности принимает вид
Эти определения представляются непрактичными в свете предшествующего обсуждения. Они ведут к тому, что нижняя грань
делится на Для случая телевидения, упомянутого в предыдущем разделе, это означало бы, что достаточна полоса около
. Разумеется, инженеры телевидения заменили бы полосу 6 Мгц шестью полосами по 1 Мгц. если бы это было возможно.