Главная > Математика > Наука и теория информации
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Флуктуации энергии; формула Гиббса

Рассмотрим такое очень большое тело, предположив, например, что — большой сосуд, наполненный водой и тщательно изолированный в тепловом отношении от своего окружения. Это соответствует физическому устройству, известному под названием термостат, т. е. аппарат, сохраняющий практически постоянную температуру. Температура системы действительно постоянна, если обмениваемые количества тепла q остаются очень малыми по сравнению с полной энергией термостата .

Для такого термостата из (9.15) и (9.24) имеем:

или путем прямого интегрирования

где — постоянная интегрирования, откуда

где . Такое соотношение между статистическим весом и энергией Е, типично для термостата.

Введем теперь в термостат небольшое тело и выясним состояние этого тела, поддерживаемого термостатом при постоянной температуре Наиболее вероятная энергия дана соотношениями (9.21), (9.24) и (9.25), но могут встретиться и другие значения энергии, хотя они менее вероятны.

Тело не будет сохранять все время наиболее вероятную энергию; будут наблюдаться флуктуации энергии.

Из (9.17) получаем:

Подставляя в (9.28), запишем:

Статистический вес Р системы в целом по-прежнему выражен (9.19), так что

Это значит, что в термостате с температурой каждое из микросостояний соответствующих некоторой энергии имеет коэффициент вероятности

Последняя формула типична для определения, первоначально введенного Гиббсом. Действительно, вместо того чтобы как это сделал Больцман, с формулы (9.15), для определения состояния тела поддерживаемого при температуре , Гиббс воспользовался формулой вида (9.32). Можно показать, что оба подхода эквивалентны. Мы еще воспользуемся формулой Гиббса (9.32) при обсуждении многих проблем, в которых важную роль играют флуктуации.

Это рассуждение показывает применение статистического подхода к объяснению термодинамики. Тело при температуре Т находится в состоянии постоянного движения. В случае газа молекулы движутся внутри сосуда беспорядочно и очень часто соударяются. Средняя кинетическая энергия молекул на степень свободы равна

и это тепловое движение представляет энергию, содержащуюся в газе при температуре Т.

В кристалле атомы занимают фиксированные положения в пространстве и образуют правильную решетку, которая и

составляет кристалл. Тепловое движение проявляется в колебаниях атомов около их положений равновесия. До тех пор пока частота этих колебаний мала, кинетическая энергия колебания выражается равенством (9.33), и среднюю полную энергию каждого осциллятора легко найти, как сумму кинетической и потенциальной энергий:

(9.34)

для низкочастотного осциллятора.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление