Главная > Математика > Наука и теория информации
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

8. Флуктуации

Полученные формулы понадобятся нам при обсуждении вопроса о точности физических измерений. При любой данной температуре Т результатом теплового движения является беспорядочное движение всех частей прибора, что делает невозможным измерение какой-либо величины с беспредельной точностью.

Тепловое движение есть причина броунова движения, шума в электрических цепях, шумового фона в акустике и т. д. Все эти явления будут рассматриваться в связи с применением теории информации к проблемам физики. Мы отметим очень интересную связь между информацией и энтропией и придем к систематическому обсуждению фундаментальных ограничений, встречаемых в физических экспериментах.

Тепловая энергия не влияла бы на точность измерений, если бы она оставалась постоянной. Измерения затрудняются всегда существующими флуктуациями, проявляющимися в том, что истинная энергия системы в данный момент не может быть предсказана и может сильно отличаться от среднего значения.

В предыдущем разделе мы отмечали различие между наивероятнейшим и средним значениями энергии. Исследуем флуктуации в квантованном осцилляторе. В некоторый момент времени система имеет

квантов с флуктуацией относительно среднего значения . Подсчитаем среднее значение

При усреднении учтем, что , так как — среднее значение , так что

Если известно, то средний квадрат флуктуации легко найти из (9.49). Так как вероятности всех квантованных состояний известны (см. (9.37)), то нетрудно подсчитать я. Используя (9.43), запишем:

Выполняя дифференцирование и подставляя значение В из (9.40), получаем:

Сравнение (9.49) с (9.51) с использованием (9.44) дает:

Этот знаменитый результат, полученный впервые Планком и Эйнштейном, связывает флуктуации со средними значениями. Для низкочастотного осциллятора среднее число квантов n очень велико, и мы имеем просто

Это же соотношение может быть выражено через флуктуацию энергии :

где — средняя энергия осциллятора.

При низких частотах

корень квадратный из среднего квадрата флуктуации равен средней энергии, или, грубо говоря, флуктуации имеют тот же порядок величины, что и средняя энергия.

Для высоких частот среднее значение мало, еще меньше, так что

или

При высоких частотах флуктуации энергии в среднем много больше, так как меньше, чем , а поэтому

Флуктуации относительно больше при высоких частотах (см. (9.57)), чем при низких (см. (9.54)). Этот результат типичен для квантовых явлений.

Рассмотрим теперь систему из N гармонических низкочастотных осцилляторов. Полная средняя энергия равна

Наблюдаются флуктуации

(9.60)

которые независимы в каждом из N осцилляторов; поэтому

в соответствии с (9.54) и (9.55).

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление