Главная > Математика > Наука и теория информации
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

2. Метод Найквиста

Рассмотрим теперь вывод этой формулы самим Найквистом. Прежде всего, мы должны построить цепь, способную передавать непрерывный диапазон частот, например длинную линию (рис. 11.1).

Рис. 11.1. Длинная линия длины , нагруженная на концах сопротивлениями и , с ключами для замыкания сопротивлений накоротко.

Пусть линия имеет длину l и волновое сопротивление z. Замкнем линию на концах на сопротивления и пусть Вся схема находится при некоторой температуре Т. Каждое сопротивление является источником тепловой так что сигналы посылаются из и поглощаются в и обратно. Эти сигналы покрывают широкую полосу частот. Когда достигнуто равновесие, мы замыкаем накоротко оба конца линии, и так как должно поддерживаться тепловое равновесие, то имеющиеся в линии сигналы уже более не поглощаются (и не посылаются), а лишь отражаются от обоих концов линии. Условие равновесия для замкнутой накоротко линии состоит в том, что

имеющиеся сигналы образуют стоячие волны с узлами на обоих короткозамкнутых концах (рис. 11.2). Это — собственные частоты линии, определяемые соотношением

(11.13)

где каждое значение n означает одну собственную частоту и, следовательно, одну степень свободы линии.

Так как линию можно представить себе в виде гармонического осциллятора для каждой собственной частоты, то средняя энергия для каждой собственной частоты (на каждую степень свободы) должна равняться сумме потенциальной и кинетической энергии, каждая из которых равна . Таким образом, средняя энергия на степень свободы равна .

Рис. 11.2. Стоячие волны на линии при замкнутых накоротко сопротивлениях.

Чтобы получить энергию в линии, приходящуюся на частотный интервал , мы должны подсчитать соответствующее число степеней свободы . Из (11.13):

так как , где с — скорость волны. Поэтому

(11.15)

есть число степеней свободы в част отном интервале . Полная средняя энергия короткозамкнутой линии, приходящаяся на интервал , равна

(11.16)

Эта энергия была первоначально доставлена линии двумя равными сопротивлениями . Полная энергия, доставленная каждым сопротивлением, равна в частотном интервале .

Рис. 11.3. Сопротивление вместе с линией заменено волновым сопротивлением

Чтобы найти э.д.с., развиваемую в каждом сопротивлении, подсчитаем среднюю мощность Р, т. е. энергию в единицу времени:

так как у есть время пробега сигнала от . Средняя мощность, выделяемая в каждом сопротивлении и посылаемая в линию, равна, таким образом,

Но каждое сопротивление, как источник тепловой э.д.с., работает на нагрузку (рис. 11.3), так как нагрузка состоит из сопротивления R плюс волновое сопротивление линии Z = R. Таким образом,

и мощность, выделяемая в Z, равна

(11.18)

откуда согласно (11.17)

(11.19)

или

(11.20)

что совпадает с ранее полученным результатом.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление